Álgebra Lineal – Matrices y sus Propiedades

Unidad 1

Matrices y sus propiedades

Introducción

En este apunte veremos la unidad básica del álgebra lineal como son las matrices, con ellas podremos resolver y dar solución a distintos problemas de este curso y otro más. Las matrices son una herramienta matemática que nos permitirán, entre otras cosas, optimizar el trabajo en diferentes problemas como en el análisis de sistemas de ecuaciones lineales, en el modelamiento de problemas que se puedan realizar a través de matrices y en diversas situaciones en donde una matriz nos permitirá resumir datos obtenidos de variables involucradas en un problema contextualizado.

Definición de Matriz

Una matriz corresponde a un arreglo rectangular dado por $n$-filas y $m$-columnas, donde cada elemento del arreglo se denomina como coeficiente, esto es:

$$ A = (a_{ij})_{n \times m} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{pmatrix} $$

Donde:

$n$: Corresponde al número de filas de la matriz.
$m$: Corresponde al número de columnas de la matriz.
$i$: Corresponde a un contador de filas.
$j$: Corresponde a un contador de columnas.
$a_{ij}$: Corresponde a un número real o complejo que se denomina como coeficiente o elemento de la matriz y su posición en la matriz es en la $i$-ésima fila con la $j$-ésima columna.

El conjunto de matrices reales de $n$-filas y $m$-columnas se denota por $M_{n \times m}(\mathbb{R})$.

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3 & -7 & 0 \end{pmatrix} $$

1. Posee 2 filas (forma horizontal) y 3 columnas (forma vertical), por lo que su orden es $2 \times 3$.

$$ B = \begin{pmatrix} 4 \\ -0,3 \\ -9 \end{pmatrix} $$

2. Posee 3 filas (forma horizontal) y 1 columna (forma vertical), por lo que su orden es $3 \times 1$.

$$ C = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 9 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 7 & 11 & -0,1 \\ 6 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

3. Posee 4 filas (forma horizontal) y 4 columnas (forma vertical), por lo que su orden es $4 \times 4$.

Matrices Cuadradas

Una matriz $A$ de $n \times m$ se dice cuadrada si $n = m$, esto es, cuando el número de filas es igual al número de columnas. En ese caso, el número de filas o de columnas se dice orden de la matriz.

El conjunto de matrices cuadradas reales de orden $n$ se denota por $M_{n}(\mathbb{R})$.

Ejemplo 1

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \in M_{2} $$

Ejemplo 2

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -5 \end{pmatrix} \in M_{3} $$

Observación: Matriz Identidad

Una matriz cuadrada $I_{n} \in M_{n}$ se dice que es la matriz identidad de orden «$n$» si y sólo si $a_{ij} = 0$, si $i \neq j$ y $a_{ii} = 1$, $\forall i$. Esto es:

$$ I_{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} $$

1. $ I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

2. $ I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

Diagonal Principal y Traza

Sea $A \in M_{n}$ entonces se define:

$diag_p(A) = (a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots, a_{nn})$ como la diagonal principal de $A$.
$tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$ como la traza de la matriz $A$.

Considere la matriz real de orden 3, dada como:

$$ A = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 9 \end{pmatrix} $$

En este caso $diag_p(A) = (8, 7, 9)$ y $tr(A) = 8 + 7 + 9 = 24$.

Tipos de Matrices

1. Matriz Triangular

Una matriz cuadrada de orden $n$ se dice que es una matriz triangular cuando los elementos sobre o debajo de su diagonal principal son nulos. Se distinguen dos casos:

Triangular Superior

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

Ejemplos:

$$ A = \begin{pmatrix} 11 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ B = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 11 \end{pmatrix} $$ $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,6 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & 21 \\ 0 & 0 & -4 & 72 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Triangular Inferior

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

Ejemplos:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} $$ $$ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} $$ $$ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -5 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

2. Matriz Diagonal

Una matriz se dice que es una matriz diagonal si los restantes elementos que no están en la diagonal principal son todos nulos. Esto es:

$$ D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

Ejemplos:

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} $$ $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0,4 \end{pmatrix} $$ $$ C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Operatoria con Matrices

Ponderación por escalar

Sean $\beta \in \mathbb{R}$ número real, que llamaremos escalar y $A \in M_{n \times m}$ una matriz de cualquier orden. Entonces:

$$ \beta \cdot A = \beta \cdot (a_{ij})_{n \times m} = (\beta a_{ij})_{n \times m} $$

Esto significa que al ponderar una matriz, el escalar multiplica a todos los elementos de ella.

Ejemplo:

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$ y el escalar $\beta = 3$. Entonces:

$$ 3A = 3 \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 8 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot -4 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 8 & 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & 3 \\ 24 & 6 \end{pmatrix} $$

Suma de Matrices

Sean las matrices $A = (a_{ij})$ y $B = (b_{ij})$ de orden $n \times m$. Se define la suma de matrices una operatoria interna, esto quiere decir, la suma de dos matrices provoca una tercera matriz de igual orden que las sumando.

$$ A + B = (a_{ij})_{n \times m} + (b_{ij})_{n \times m} = (a_{ij} + b_{ij})_{n \times m} = (c_{ij})_{n \times m} = C $$

Sean las matrices:

$$ A = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 9 \end{pmatrix} $$ $$ B = \begin{pmatrix} 6 & 8 & 1 \\ 2 & 9 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} $$

Determine:

$A + B$
La Matriz $X$ tal que $2X + 3A = -B$

▷ Solución 1:

$$ A + B = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 8 & 1 \\ 2 & 9 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+6 & 0+8 & 2+1 \\ 2+2 & 7+9 & 1+3 \\ 4+4 & 3+5 & 9+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 8 & 3 \\ 4 & 16 & 4 \\ 8 & 8 & 10 \end{pmatrix} $$

▷ Solución 2:

Despejando la matriz $X$:

\begin{align*} 2X + 3A &= -B \\ 2X &= -B – 3A \\ X &= \frac{1}{2}[-B – 3A] \end{align*}

Reemplazando las matrices dadas:

$$ X = \frac{1}{2} \left[ -\begin{pmatrix} 6 & 8 & 1 \\ 2 & 9 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 9 \end{pmatrix} \right] $$

$$ X = \begin{pmatrix} -15 & -4 & -7/2 \\ -4 & -15 & -3 \\ -8 & -7 & -14 \end{pmatrix} $$

Producto de Matrices

Sean $A \in M_{n \times m}$ y $B \in M_{m \times q}$. Entonces para realizar el producto de matrices se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, luego se realiza un algoritmo dado por las filas de la primera matriz versus las columnas de la segunda con el objetivo de determinar cada uno los coeficientes de la matriz resultante, esto es:

$$ A_{n \times m} \cdot B_{m \times q} = C_{n \times q} $$

Entonces los coeficientes de $C$ se obtienen como sigue:

$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik} \cdot b_{kj}, \quad \forall i,j \in \{1, 2, \dots, n\} $$

Observación: La condición necesaria para multiplicar dos matrices es que la cantidad de columnas de la primera coincida con la cantidad de filas de la segunda.

Considere las siguientes matrices:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}_{3 \times 2} $$

Determine $A \cdot B$.

▷ Solución:

\begin{align*} A \cdot B &= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}_{3 \times 2} \\[10pt] &= \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot4 + 1\cdot0 & 2\cdot2 + 3\cdot1 + 1\cdot2 \\ -1\cdot2 + 0\cdot4 + 2\cdot0 & -1\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot2 \end{pmatrix} \\[10pt] &= \begin{pmatrix} 16 & 9 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \end{align*}

Nota Importante:

Por lo general $A \times B \neq B \times A$, esto se puede deber a dos razones: imposibilidad de multiplicar o los resultados no son iguales.

1. Considere las matrices $A_{2 \times 4}$ y $B_{4 \times 3}$. Tendremos que $A \cdot B = C_{2 \times 3}$, pero $B \cdot A$ no es posible realizar la multiplicación, debido a que $B$ tiene 3 columnas y $A$ tiene 2 filas.
2. Considere las matrices: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$
A pesar de que $A \cdot B$ y $B \cdot A$ son posibles, no se cumple la igualdad:

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 21 \\ 5 & 21 \end{pmatrix} $$

$$ B \cdot A = \begin{pmatrix} 20 & 9 \\ 13 & 9 \end{pmatrix} $$

Matriz Traspuesta

Si $A \in M_{n \times m}$ entonces se define la matriz traspuesta de $A$, como la matriz $A^{t}$, tal que $A^{t} \in M_{m \times n}$, es decir corresponde a la matriz que intercambia las filas por las columnas y viceversa.

Considere:

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 8 & 4 \\ 3 & 1 & 40 \end{pmatrix} \in M_{2 \times 3} $$

Entonces:

$$ A^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 8 & 1 \\ 4 & 40 \end{pmatrix} \in M_{3 \times 2} $$

Propiedades

Sean $A$ y $B$ matrices de orden $n \times m$ y el escalar real $\lambda$. Se cumple:

1. $$ (A^{t})^{t} = A $$
2. $$ [\lambda A]^{t} = \lambda A^{t} $$
3. $$ (A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} $$
4. $$ (AB)^{t} = B^{t}A^{t} $$

Conclusión

Al finalizar el estudio de matrices, se puede obtener que son arreglos numéricos ordenados por filas y columnas, donde a nivel de estructura algebraica poseen operaciones internas (suma y multiplicación) que se realizan usando sus elementos y sujetas a condiciones. Las matrices resultan de vital importancia en poder resumir información recopilada de forma que esta se pueda trabajar de manera óptima, uti- lizando procesos de cálculo que son más eficientes y eficaces en la obtención de resultados que puedan ser interpretados dentro del contexto en que se estén utilizando.