Determinantes

Objetivo

Esta cápsula te permitirá calcular determinantes, usando regla de Laplace y operaciones elementales de matrices cuadradas de orden $n$.

Introducción

Se conoce como el determinante de una matriz cuadrada, a un escalar que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Es así que, conociendo el determinante de una matriz se podrá establecer, entre otras cosas, si una matriz posee inversa o no.

A continuación, aplicaremos este tema mediante la realización de un ejercicio.

Determinantes

Determine el determinante de la matriz usando métodos de desarrollo (Laplace/Sarrus) y operaciones elementales:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Método 1: Agregando columnas (Regla de Sarrus)

Para calcular de forma directa, agregamos las primeras dos columnas a la derecha de la matriz:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} $$

Multiplicando las diagonales principales y restando las diagonales secundarias:

\begin{align*} |A| &= [ (2 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 2 \cdot 4) + (1 \cdot 3 \cdot -1) ] – [ (1 \cdot 2 \cdot 4) + (2 \cdot 3 \cdot 3) + (2 \cdot 2 \cdot -1) ] \\[10pt] |A| &= [ 12 + 16 – 3 ] – [ 8 + 18 – 4 ] \\[10pt] |A| &= [ 25 ] – [ 22 ] \\[10pt] |A| &= 3 \end{align*}

Método 2: Operaciones elementales (Estrategia de Pivote)

Usando operaciones elementales para formar la mayor cantidad de ceros y así reducir el tamaño del determinante:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$

Operación: $F_1 \leftarrow F_1 – F_2$

$$ = \begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$

Operación: $C_3 \leftarrow C_3 – C_1$

$$ = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & -1 \end{vmatrix} $$

Al buscar ceros en una fila (la primera), podemos reducir el orden del determinante desarrollando por los cofactores de dicha fila:

\begin{align*} |A| &= -1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} – 0 + 0 \\[10pt] |A| &= -1 \cdot [ (2 \cdot -1) – (-1 \cdot -1) ] \\[10pt] |A| &= -1 \cdot [ -2 – 1 ] \\[10pt] |A| &= -1 \cdot ( -3 ) = 3 \end{align*}

Por ambos métodos, el determinante de la matriz es:

$$ |A| = 3 $$

Conclusión

En resumen, para el procedimiento de cálculo del determinante es importante utilizar de forma adecuada la regla de Laplace que permite su uso en matrices cuadradas de orden tres y, para matrices de orden superior, el procedimiento más adecuado es a través de las operaciones elementales, sobre todo en los casos que los coeficientes no son constantes.