Matriz Inversa

Objetivo

El objetivo de esta cápsula es calcular la inversa de una matriz a través de operaciones elementales por filas.

Introducción

Un matriz cuadrada, por lo general, posee la característica de tener otra matriz cuadrada de igual orden, tal que el producto de ellas sea conmutativo e igual a la matriz identidad. Esta matriz se denomina invertible y, a la otra matriz, es la inversa de ella.

A continuación, aplicaremos este tema mediante la realización de un ejercicio.

Cálculo de Inversa

Determine, usando operaciones elementales, la inversa de la matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ -3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Ampliando la matriz $A$ con su matriz identidad correspondiente $[A | I_3]$:

$$[A|I_3] = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1/2 & 0 & 0 \\ -3 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Operación: $F_1 \leftarrow \frac{1}{2} F_1$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

Operación: $F_2 \leftrightarrow F_3$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 3/2 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

Operación: $F_3 \leftarrow F_3 + 3F_1$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/6 & 0 \end{array} \right)$$

Operación: $F_3 \leftarrow \frac{1}{6} F_3$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & -1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3/4 & -1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/6 & 0 \end{array} \right)$$

Op 1: $F_1 \leftarrow F_1 – 2F_3$

Op 2: $F_2 \leftarrow F_2 – 3F_3$

$$\sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3/4 & -1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/6 & 0 \end{array} \right)$$

Operación: $F_1 \leftarrow F_1 – F_2$

Hemos llegado a la forma $[I_3 | A^{-1}]$, por lo que la matriz inversa es:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/6 & -1 \\ -3/4 & -1/2 & 1 \\ 1/4 & 1/6 & 0 \end{pmatrix}$$

Conclusión

Como se pudo apreciar en el desarrollo del ejercicio, para obtener la inversa de una matriz esta se amplía por la identidad del orden correspondiente y se realizan operaciones elementales que transforman la matriz original en la identidad.

Estas mismas operaciones elementales transforman la identidad en la inversa de la matriz pedida.