Sistemas de ecuaciones por Cramer

Objetivo

Esta cápsula te permitirá resolver sistemas de ecuaciones lineales cuadrados, utilizando Regla de Cramer.

Los sistemas donde se utiliza la Regla de Cramer son sistemas cuya solución es única.

Introducción

Se conoce como sistema de ecuaciones de Cramer a todo sistema de ecuaciones cuadrado, es decir, igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas que posee solución única. Este método utiliza determinantes para obtener la solución única del sistema planteado.

A continuación, aplicaremos este tema mediante la realización de un ejercicio.

Cálculo de Variables

Determine la solución del sistema de ecuaciones lineal:

$$S: \begin{cases} x + y + z &= 2 \\ x – y + z &= 1 \\ x – y – z &= 0 \end{cases}$$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

En este caso, tenemos los determinantes a calcular: el del sistema ($\Delta$) y los correspondientes a cada variable ($\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$).

Determinante del Sistema ($\Delta$)

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 4$$

Determinante de $x$ ($\Delta_x$)

Reemplazando la 1ª columna por los resultados $(2, 1, 0)$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 4$$

Determinante de $y$ ($\Delta_y$)

Reemplazando la 2ª columna por los resultados $(2, 1, 0)$:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 2$$

Determinante de $z$ ($\Delta_z$)

Reemplazando la 3ª columna por los resultados $(2, 1, 0)$:

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 2$$

Entonces, calculamos las incógnitas usando Cramer ($var = \frac{\Delta_{var}}{\Delta}$):

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{4}{4} = 1$$

$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

La solución única del sistema es:

$$ Sol = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\} $$

Conclusión

Los sistemas resueltos mediante la Regla de Cramer son aquellos que la solución es única, ya que, en el procedimiento de cálculo de las variables, se debe dividir por el determinante de la matriz de los coeficientes, por lo tanto, este determinante debe ser distinto de cero.

Esto determina o no la existencia de la inversa de la matriz de los coeficientes.