Sistemas de ecuaciones por Gauss Jordan

Objetivo

En esta cápsula podremos resolver sistemas de ecuaciones lineales por operaciones elementales filas, basado en el método de Gauss-Jordan para resolución de sistemas.

Introducción

El método de Gauss Jordan permite determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales de orden $n \times m$, utilizando una cantidad finita de operaciones elementales filas, con el fin de transformar el sistema en otro equivalente, pero escalonado.

De esta manera, dependiendo del rango de este último, podemos determinar la naturaleza de las soluciones del sistema.

A continuación, aplicaremos este tema mediante la realización de un ejercicio.

Resolución del Sistema

Resuelva el siguiente sistema utilizando operaciones elementales y analice los resultados considerando el Teorema del Rango:

$$ \begin{cases} x_1 – x_2 &= 200 \\ x_2 – x_4 &= -100 \\ -x_3 + x_4 &= -200 \\ -x_1 + x_3 &= 100 \end{cases} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Expresamos el sistema en forma de matriz ampliada $[A | b]$:

$$ [A|b] = \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 200 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -100 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -200 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 100 \end{array} \right) $$

$$ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 200 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -100 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -200 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 300 \end{array} \right) $$

Operación: $F_4 \leftarrow F_4 + F_1$

$$ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 200 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -100 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -200 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 200 \end{array} \right) $$

Operación: $F_4 \leftarrow F_4 + F_2$

$$ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 200 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -100 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -200 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Operación: $F_4 \leftarrow F_4 + F_3$

Analizando por el Teorema de Rouché-Frobenius (o del Rango):

El rango de la matriz de los coeficientes es $\rho(A) = 3$.
El rango de la matriz ampliada es $\rho(A|b) = 3$.
El número total de variables es $n = 4$.

Dado que:

$$ \rho(A) = \rho(A|b) = 3 < 4 $$

El sistema es Compatible Indeterminado, es decir, existen infinitas soluciones al sistema.

Conclusión

El método empleado, basado en el algoritmo de Gauss-Jordan, es muy útil en la resolución de sistemas lineales de distinto orden y con cantidades finitas de operaciones elementales se puede obtener la solución del sistema.

También, es posible a través de este método, analizando de acuerdo con las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius (Teorema del Rango), establecer el tipo de solución del sistema y si este tiene solución.