1.1 · Vectores y su representación gráfica

Introducción

Unidad 1.1 · Vectores y su representación gráfica

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Unidad 1 · Geometría vectorial

1.1 · Vectores y su representación gráfica

Introducción

La física estudia la naturaleza del universo. Las características de los fenómenos se describen mediante cantidades físicas.

Las cantidades que se comprenden con un único número (p. ej., temperatura, longitud) se denominan escalares. Otras requieren magnitud y dirección, por lo que se representan con vectores.

Geométricamente, un vector es una flecha: su longitud es la magnitud y su orientación, la dirección. Para interpretarlo se usa un sistema de coordenadas (cartesiano o polar).

Explora un vector en 2D

Arrastra la punta del vector y observa sus componentes y su módulo.

x=0, y=0, |v|=0

Vectores y componentes

En el plano cartesiano (ejes x y y), un punto (x₀, y₀) se ubica a distancias x₀ y y₀ desde el origen.

Un vector dibujado desde el origen hasta (x₀, y₀) queda identificado como a⃗ = (x₀, y₀). En 3D: a⃗ = (x₀, y₀, z₀).

Vectores unitarios

Vector	Componentes	Dirección
î	(1, 0, 0)	Eje x
ĵ	(0, 1, 0)	Eje y
k̂	(0, 0, 1)	Eje z

Todo vector puede escribirse como suma de componentes. Ej.: (1,2,3) = î + 2ĵ + 3k̂.

Adición de vectores (ley del paralelogramo)

Dados u⃗=(u_x,u_y,u_z) y w⃗=(w_x,w_y,w_z), entonces u⃗ + w⃗ = (u_x+w_x)î + (u_y+w_y)ĵ + (u_z+w_z)k̂.

Arrastra u⃗ y w⃗; la diagonal muestra s⃗ = u⃗ + w⃗.

u=(2,3), w=(6,4) ⇒ s=(8,7)

Ponderación por escalar y magnitud

Para un vector u⃗=(u_x,u_y,u_z) y un escalar α∈ℝ, αu⃗ = (αu_x)î + (αu_y)ĵ + (αu_z)k̂. Si α<0, el sentido se invierte.

u=(2,1) → αu mantiene dirección; magnitud ×|α|.

Magnitud en 3D: |u⃗| = √(u_x² + u_y² + u_z²).

Coordenadas polares ↔ cartesianas

Polar → Cartesiano

Cartesiano → Polar

Convención de ángulos (°): origen en eje x positivo, aumento antihorario.

II cuadrante: θ = 180° − α
III cuadrante: θ = 180° + α
IV cuadrante: θ = 360° − α

Ejemplo

Sean a⃗=3∠60°, b⃗=4∠220° y c=2∠290°. Determinar R⃗ = a⃗ − 3b⃗ + 2c y obtener su módulo y ángulo respecto de x positivo.

Desarrollo numérico

Vector	Forma polar	Forma cartesiana

Conclusión

Los vectores permiten representar cantidades como posición, velocidad, aceleración, fuerzas y momentum. Fenómenos con dependencia direccional distribuida se describen como campos vectoriales (flujo de aire, esfuerzos mecánicos, viento, campos electromagnéticos).

Existen cantidades tensoriales para fenómenos donde la respuesta depende de la dirección (deformación de materiales, propagación electromagnética, relatividad general).