Operaciones Elementales

Introducción

En esta guía desarrollaremos ejercicios relacionados con operaciones elementales sobre una matriz, el proceso de escalonamiento y reducción.

El poder trabajar adecuadamente con las operaciones elementales permitirá trabajar en el cálculo de determinante de matrices, cálculo de inversas y la solución y análisis de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicio 1

Calcule el rango de las siguientes matrices:

(a)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$

(b)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

(c)

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 3 & 5 & 5 \end{pmatrix} $$

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(a) 2

(b) 3

Ejercicio 2

Encuentre la matriz escalonada de:

(a)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

(b)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

(c)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 9 \\ 1 & 3 & 1 & 7 \\ 4 & 3 & 9 & 7 \\ 5 & 2 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$

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(a)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$

(b)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

(c)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 9 \\ 0 & -9 & -11 & -29 \\ 0 & 0 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{91}{9} \end{pmatrix} $$

Ejercicio 3

Determine los valores reales de $a$ de modo que el rango fila de la matriz $B$, sea igual a 3:

$$ B = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ a & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $$

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$$ a \neq 1 $$

Ejercicio 4

Determine las condiciones que deben cumplir los valores reales de $a$ y $b$ de modo que la matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a-2 \\ 0 & a-1 & b+2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

tenga un rango fila igual a 2.

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$$ a = 0 $$

$$ b = -1 $$

Ejercicio 5

Analice el rango de la matriz para los valores reales de $h$:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 3 \\ h & 3 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -4 & 3 \end{bmatrix} $$

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Tiene rango 3, si $h = -20$

Tiene rango 4, si $h \neq -20$

Conclusión

Las operatorias elementales permiten determinar si existe una combinación entre filas, resultantes de operatorias entre ellas.

Esto se ve reflejado cuando al realizar el proceso de escalonamiento, una o más filas se anulan, lo cual nos indica lo mencionado y por ende nos ayuda a determinar el rango de una matriz, útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.