Determinantes

Introducción

En esta guía desarrollaremos ejercicios relacionados con determinantes de una matriz, utilizando las distintas formas de obtener el escalar asociado a la matriz.

Es importante poder destacar, en cada paso realizado, la o las propiedades que se han utilizado para establecer la mejor forma en el cálculo del determinante.

Ejercicio 1

1. Verificar usando propiedades si se cumplen las siguientes igualdades:

(a)

$$ \begin{vmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 9 & 1 \end{vmatrix} = 60 $$

(b)

$$ \begin{vmatrix} a+3 & -1 & 1 \\ 5 & a-3 & 1 \\ 6 & -6 & a+3 \end{vmatrix} = (a+3)(a+2)(a-2) $$

(c)

$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -2 $$

(d)

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = abc(b-a)(c-a)(c-b) $$

(e)

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc $$

(f)

$$ \begin{vmatrix} a+b & a & a & a \\ a & a+b & a & a \\ a & a & a+b & a \\ a & a & a & a+b \end{vmatrix} = (4a+b)b^3 $$

(g)

$$ \begin{vmatrix} 1 & x & y+z \\ 1 & y & x+z \\ 1 & z & x+y \end{vmatrix} = 0 $$

(h)

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 $$

▷ Ver Indicaciones / Resultados

¡Todas las igualdades son correctas!

Al desarrollar cada determinante aplicando las propiedades correspondientes (operaciones de filas/columnas para generar ceros, factorización de escalares, desarrollo por cofactores de Laplace o Regla de Sarrus), se demuestra y llega matemáticamente a la igualdad planteada en cada literal.

Ejercicio 2

2. Resuelva las siguientes ecuaciones para $x$:

(a)

$$ \begin{vmatrix} x & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 $$

(b)

$$ \begin{vmatrix} x-1 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & x+2 & -1 \end{vmatrix} = 0 $$

(c)

$$ \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 6 & 1 & -6 \\ x+4 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = 0 $$

(d)

$$ \begin{vmatrix} 8 & 8 & x \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 2 \end{vmatrix} = 0 $$

(e)

$$ \begin{vmatrix} 2+x & 3+x & 1+x \\ 3+x & 1+x & 2+x \\ 1+x & 2+x & 3+x \end{vmatrix} = 0 $$

▷ Ver Resultados

(a)

$$ x = -\frac{1}{2} $$

(b)

$$ x = -1,\; x = 1,\; x = -2 $$

(c)

$$ x = 2,\; x = \pm\sqrt{10} $$

(d)

$$ x = 8,\; x = 2 $$

(e)

$$ x = -2 $$