Operaciones elementales

Introducción

En este apunte veremos operaciones entre filas de una matriz, que nos permitirán resolver por ejemplo, sistemas de ecuaciones lineales de una forma más sencilla y práctica, respecto a los métodos habituales de resolución. También será el medio que se utilizará para poder encontrar matrices inversas y determinantes de matrices cuadradas. Todo lo anterior se basa en el proceso de Gauss-Jordan, fundamental en el trabajo de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de inversas y de determinante.

1.2 Operaciones Elementales

Dada una Matriz $A \in M_{n \times m}$ se tiene que sobre ella se pueden realizar las siguientes operaciones elementales:

$$ F_{ij} $$

Significa que se permuta la fila $i$-ésima con la fila $j$-ésima de $A$.

$$ F_{i} + F_{j} $$

Indica que se suman los coeficientes de la fila $i$-ésima con los respectivos coeficientes de la fila $j$-ésima, registrando su resultante en la fila $F_i$.

$$ \beta F_{i} $$

Indica que se multiplican todos los coeficientes por el escalar $\beta \in \mathbb{R}$, registrando su resultante en la fila $F_i$.

Este método de las operaciones filas-columnas se utiliza para diversos propósitos, entre ellos determinación de matrices inversas, cálculo del determinante de una matriz, escalonamiento de matrices, resolución de sistemas de ecuaciones, etc.

Cada matriz resultante de realizar una operación elemental fila se llama equivalente ($\sim$) a las anteriores.

Nota Importante:

Una matriz se encuentra escalonada luego de realizar $n$ finitas operaciones elementales sobre una matriz (resultando triangular), y se llamará reducida si al realizar $n$ operaciones elementales sobre la matriz resulta una matriz con solamente elementos en su diagonal principal.

Ejemplo Práctico

Determine la matriz equivalente, escalonada y reducida por filas de:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Por lo general, se suelen usar como elementos para operar a los de la diagonal principal unitarios, esto se puede lograr amplificando la fila o sumando otras.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_1 \leftarrow F_1 – F_2$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 – F_1$

Op 2: $F_3 \leftarrow F_3 – 2F_1$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_3 \leftarrow -1 \cdot F_3$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 – 2F_3$

Op 2: $F_1 \leftarrow F_1 – F_3$

Matriz Reducida Final:

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Conclusión

Las operaciones elementales son una herramienta práctica para determinar el rango de una matriz, su inversa y determinante. También serán muy útiles en la solución de sistemas de ecuaciones y de su análisis para determinar el tipo de solución que estos posean. Estas operatorias se realizan usando filas pivotes que operarán a nivel de sus elementos con las restantes filas de una matriz.