Matriz Inversa

Introducción

En esta sección veremos la aplicación de las operaciones elementales en matrices cuadradas para obtener su inversa, en los casos donde existe. Para verificar que una matriz cuadrada posee inversa se utiliza el determinante, el cual debe ser distinto de cero. A una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero, se puede aplicar algún proceso para el cálculo de su inversa, uno de los cuales es realizar operaciones elementales a la matriz original transformándola en la matriz identidad. Estas mismas operaciones elementales aplicadas anteriormente, transforman la matriz identidad en la inversa de la matriz que se quiere encontrar.

1.4 Inversa

Una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ se dice que es invertible si existe $B$ matriz de orden $n$ tal que:

$$ AB = BA = I_{n} $$

En ese caso $B$ se dice inversa de $A$ y se denota por $A^{-1}$.

Ejemplo: Inversa de orden 2

Considere la matriz de orden 2:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Si el determinante $ad – bc \neq 0$, entonces se verifica que su inversa está dada por:

$$ A^{-1} = \frac{1}{(ad-bc)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Teorema Fundamental

Una matriz $A$ cuadrada de orden $n$ es invertible si y sólo si $\det(A) \neq 0$.

A modo de ilustración utilizaremos las operaciones elementales para determinar una matriz inversa usando el método de Gauss-Jordan. Los pasos son:

1

Dada $A \in M_{n}$, verificar que el determinante es distinto de cero: $\det(A) \neq 0$.
2

Se amplía la matriz $A$ adjuntándole la matriz identidad, esto es, formar la matriz ampliada: $$ (A | I) \in M_{n \times 2n} $$
3

Se realizan operaciones elementales sobre filas de forma sucesiva hasta transformar la mitad izquierda en la identidad: $$ (A | I) \sim \dots \sim (I | A^{-1}) $$

Ejemplo Práctico

Determine la inversa de la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

1. Verificación del determinante:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{vmatrix} = (6 + 0 + 45) – (6 + 0 + 25) = 51 – 31 = 20 $$

Como $\det(A) = 20 \neq 0$, se puede garantizar la existencia de la matriz inversa de $A$.

2. Ampliando con la matriz identidad $[A | I_{3}]$:

$$ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 – 3F_1$

Op 2: $F_3 \leftarrow F_3 – 2F_1$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Operación: $F_3 \leftarrow F_3 – 5F_2$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & 13 & -5 & 1 \end{array} \right) $$

Operación: $F_3 \leftarrow \frac{1}{20} \cdot F_3$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 13/20 & -1/4 & 1/20 \end{array} \right) $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 + 4F_3$

Op 2: $F_1 \leftarrow F_1 – 3F_3$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -19/20 & 3/4 & -3/20 \\ 0 & 1 & 0 & -2/5 & 0 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1 & 13/20 & -1/4 & 1/20 \end{array} \right) $$

¡Matriz Identidad obtenida!

Por lo tanto, la matriz inversa es:

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -19/20 & 3/4 & -3/20 \\ -2/5 & 0 & 1/5 \\ 13/20 & -1/4 & 1/20 \end{pmatrix} $$

Conclusión

El proceso de encontrar la inversa de una matriz se realizó sobre la ampliación de la matriz de orden $n$, con la matriz identidad del mismo orden. Como se pudo apreciar, las operaciones elementales se realizan al mismo tiempo a la matriz original y a la matriz identidad del mismo orden, de forma que el proceso sea lo más rápido posible.

Un dato importante a destacar en este proceso de cálculo de inversa es que el rango de la matriz, cuyo determinante es distinto de cero, es $n$. Es decir, el rango de la matriz coincide con el orden de ella.