Álgebra Lineal – Sistemas por Gauss Jordan

Unidad 1

Sistemas de ecuaciones por Gauss Jordan

Introducción

Como ya se ha visto en las secciones anteriores, la solución de sistemas de ecuaciones se puede realizar por diversos métodos, los cuales se emplean según el tipo de sistemas que se quiere resolver. Cuando los sistemas son de $m$ variables y $n$ ecuaciones el método que puede facilitar el cálculo de las soluciones del sistema, está basado en el algoritmo de Gauss-Jordan.

Para la aplicación de este método es necesario utilizar operaciones elementales, de forma que de la aplicación de las operaciones elementales se van obteniendo sistemas equivalentes al inicial, es decir, todos los sistemas que se puedan generar poseen igual solución que el sistema inicial. Otro punto importante a mencionar es que a través de este método se podrá realizar un análisis general del tipo de solución que posee el sistema, ya sea de única solución, soluciones infinitas o si el sistema no tiene solución.

1.6 Método de Gauss

Dado un sistema matricial $AX=b$ tal que $A \in M_{m \times n}$, $X \in M_{n \times 1}$ y $b \in M_{m \times 1}$. Entonces el método de eliminación gaussiana se sigue según los siguientes pasos:

1 Matriz Ampliada

Se amplía la matriz $A$ con la matriz $b$, esto es, $(A | b)$ y luego se realizan operaciones filas hasta obtener una matriz escalonada.

2 Análisis de Rangos

Se estudian los rangos de $A$ y $(A | b)$, esto es:

$\rho(A)$: número de filas no-nulas de la escalonada de $A$.
$\rho(A|b)$: número de filas no-nulas de la escalonada de $(A | b)$.

2.1 Solución Única

Si $\rho(A) = \rho(A|b) = n$ ($n$: número de variables) entonces el sistema tiene solución única.

2.2 Infinitas Soluciones

Si $\rho(A) = \rho(A|b) < n$. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

2.3 Sin Solución

Si $\rho(A) \neq \rho(A|b)$. Entonces el sistema no tiene solución.

3 Resolución

Si el sistema de ecuaciones lineales es compatible se resuelve recursivamente.

Observaciones Adicionales:

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es compatible si y sólo si cumple 2.1 y 2.2.
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es incompatible si y sólo si cumple 2.3.
$\eta(A)$: corresponde al número de filas nulas de la matriz escalonada de $A$ (nulidad de $A$) y además se tiene que:
$$ \rho(A) + \eta(A) = n $$
El método de Gauss-Jordan es una ampliación del método de Gauss, donde se pide una matriz escalonada reducida.

Ejemplos Prácticos

1. Sistema Compatible Determinado

Determine el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:

$$ S: \begin{cases} 2x + y – 3z &= 7 \\ 5x – 4y + z &= -19 \\ x – y – 4z &= 4 \end{cases} $$

▷ Solución:

Escribiendo en matriz ampliada y aplicando operaciones elementales:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 7 \\ 5 & -4 & 1 & -19 \\ 1 & -1 & -4 & 4 \end{array} \right) \xrightarrow{F_1 \leftrightarrow F_3} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -4 & 4 \\ 5 & -4 & 1 & -19 \\ 2 & 1 & -3 & 7 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 – 2F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 5F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 21 & -39 \\ 0 & 3 & 5 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{F_3 \leftarrow F_3 – 3F_2} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 21 & -39 \\ 0 & 0 & -58 & 116 \end{array} \right) \end{align*}

De esto último tenemos el sistema equivalente:

$$ S’: \begin{cases} x – y – 4z &= 4 \\ y + 21z &= -39 \\ -58z &= 116 \end{cases} $$

Tomando la última ecuación:

$$ -58z = 116 \Rightarrow z = -2 $$

Reemplazando en $y + 21z = -39$, tenemos:

$$ y + 21(-2) = -39 \Rightarrow y = 3 $$

Ahora reemplazando en $x – y – 4z = 4$:

$$ x – 3 – 4(-2) = 4 \Rightarrow x = -1 $$

El conjunto solución es:

$$ Sol = \{-1, 3, -2\} $$

2. Sistema Compatible Indeterminado

Determine el conjunto solución del siguiente sistema:

$$ S: \begin{cases} 3x + 2y – 2z &= 4 \\ 4x + y – z &= 7 \\ x + 4y – 4z &= -2 \end{cases} $$

▷ Solución:

Para aplicar el método de Gauss Jordan, ampliamos la matriz $A$ con la matriz $b$ y escalonamos:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & -1 & 7 \\ 1 & 4 & -4 & -2 \end{array} \right) \xrightarrow{F_1 \leftrightarrow F_3} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -4 & -2 \\ 4 & 1 & -1 & 7 \\ 3 & 2 & -2 & 4 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 – 3F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 4F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -4 & -2 \\ 0 & -15 & 15 & 15 \\ 0 & -10 & 10 & 10 \end{array} \right) \xrightarrow{F_2 \leftarrow -\frac{1}{15}F_2} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -10 & 10 & 10 \end{array} \right) \xrightarrow{F_3 \leftarrow F_3 + 10F_2} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}

Cuando se provoca que al escalonar una fila completa se anula, veremos la cantidad de incógnitas que nos restan y ecuaciones. En este caso: 3 incógnitas y 2 ecuaciones efectivas. Luego el sistema será compatible indeterminado, donde las soluciones dependen de $3 – 2 = 1$ parámetro. Esto lo podemos ver en el siguiente sistema equivalente:

$$ S’: \begin{cases} x + 4y – 4z &= -2 \\ y – z &= -1 \end{cases} $$

Despejando en la segunda ecuación la incógnita $y$:

$$ y = -1 + z $$

Reemplazando en la primera ecuación:

\begin{align*} x + 4(-1 + z) – 4z &= -2 \\ x – 4 + 4z – 4z &= -2 \\ x &= 2 \end{align*}

Luego el conjunto solución es (infinitas soluciones):

$$ Sol = \{2, -1 + z, z\} \quad \text{con } z \in \mathbb{R} $$

3. Sistema Incompatible

Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones:

$$ S: \begin{cases} x + 2y + 4z &= 3 \\ 2x + 4y + 8z &= 1 \\ -y + z &= -2 \end{cases} $$

▷ Solución:

En forma matricial y aplicando operaciones elementales:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & 4 & 8 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{array} \right) \xrightarrow{F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{array} \right) \end{align*}

Se observa que la segunda ecuación genera una incoherencia:

$$ 0x + 0y + 0z = -5 \Rightarrow 0 = -5 \quad \text{(Falso)} $$

Esto es imposible, por lo que el sistema es incompatible.

Esto significa que:

$$ Sol = \emptyset $$

4. Discusión de un Sistema con Parámetro $k$

Discuta el sistema lineal con respecto a los valores reales de $k$:

$$ S: \begin{cases} x – 2y + 3z &= 1 \\ 2x + ky + 6z &= 6 \\ -x + 3y + (k-3)z &= 0 \end{cases} $$

▷ Solución:

En forma matricial, evaluamos primero el determinante para ver cuándo es Compatible Determinado:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & k & 6 \\ -1 & 3 & k-3 \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow k \neq -4 \text{ ; } k \neq 0 $$

$\therefore$ El sistema es compatible determinado si $k \in \mathbb{R} – \{0, -4\}$.

Analizando el valor de $k=0$:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 6 & 6 \\ -1 & 3 & -3 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 + F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align*}

Las filas dos y tres son proporcionales, por lo que tenemos el sistema equivalente:

$$ S’: \begin{cases} x – 2y + 3z = 1 \\ y = 1 \end{cases} $$

De esto tendremos que con $k=0$ el sistema es compatible indeterminado (el apunte original menciona determinado, pero al anularse una fila, restan 2 ecuaciones y 3 incógnitas).

Analizando el valor de $k=-4$:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 6 \\ -1 & 3 & -7 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 + F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{align*}

En este caso, tenemos la fila 2 que indica $0x + 0y + 0z = 4$, lo que es incoherente. Por lo tanto, con $k=-4$ el sistema es incompatible.

Conclusión

El método de Gauss-Jordan permite, a través de operaciones elementales en una matriz ampliada, determinar un sistema equivalente que nos indicará la forma de la solución del sistema de ecuaciones lineales. La importancia de este método es que no se concentra en un sólo tipo de sistema de ecuaciones lineales, sino que permite resolver y analizar cualquier tipo de sistemas de ecuaciones, por lo que resulta una herramienta muy útil para el trabajo en los sistemas de ecuaciones lineales.

Es importante el trabajo realizado en los sistemas por el método expuesto, dado que esto permitirá su utilización en conceptos posteriores como lo son los de independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial.