Aplicaciones de sistemas de ecuaciones

Introducción

Un sistema de ecuaciones puede modelar y dar respuesta a distintos problemas en diversas áreas del conocimiento. En este apunte, veremos algunos ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales y cómo se pueden modelar diversas situaciones con matrices.

Lo importante es poder definir las variables del sistema, que es la base para formar el sistema de ecuaciones lineales que permitirá modelar la situación planteada y así poder entregar la solución al problema estipulado.

1.7 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones

A continuación, analizaremos situaciones prácticas donde se modelan problemas reales a través de sistemas de ecuaciones lineales y se resuelven utilizando métodos matriciales y la regla de Cramer.

1. Problema de Recorrido y Tiempos (Delivery)

Un repartidor de Delivery recorre diariamente 120 km. En terreno plano su velocidad es de $30 \text{ km/hr}$; en terrenos empinados su velocidad es $20 \text{ km/hr}$ al subirlos y $40 \text{ km/hr}$ al bajarlos. Emplea en el recorrido 4 horas a la vuelta y 4h 30m a la ida. ¿Cuántos kms son de terreno plano, subida y bajada?

▷ Solución:

Sean las variables:

$x$: km de terreno plano.
$y$: km de terreno en subida.
$z$: km de terreno en bajada.

Usando el enunciado y sabiendo que $\text{tiempo} = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$, formamos el sistema:

\begin{align*} x + y + z &= 120 \\ \frac{x}{30} + \frac{y}{20} + \frac{z}{40} &= 4 \\ \frac{x}{30} + \frac{y}{40} + \frac{z}{20} &= 4.5 \end{align*}

Amplificando la segunda y tercera ecuación por 120, obtenemos el sistema en forma matricial:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120 \\ 480 \\ 540 \end{pmatrix} $$

Escalonando la matriz ampliada $[A|b]$:

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 120 \\ 4 & 6 & 3 & 480 \\ 4 & 3 & 6 & 540 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 – 4F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 4F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 120 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 60 \end{array} \right) \xrightarrow[F_2 \leftrightarrow F_3]{\text{y ajustar signos}} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 120 \\ 0 & 1 & -2 & -60 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{F_3 \leftarrow F_3 – 2F_2} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 120 \\ 0 & 1 & -2 & -60 \\ 0 & 0 & 3 & 120 \end{array} \right) \end{align*}

De esto, se obtiene el sistema equivalente:

$$ S: \begin{cases} x + y + z &= 120 \\ y – 2z &= -60 \\ 3z &= 120 \end{cases} $$

De la última ecuación: $3z = 120 \Rightarrow z = 40$.
Reemplazando en la segunda ecuación: $y – 2(40) = -60 \Rightarrow y = 20$.
Reemplazando en la primera ecuación: $x + 20 + 40 = 120 \Rightarrow x = 60$.

Por lo tanto, tenemos:

60 km de terreno plano, 20 km de terreno en subida y 40 km de terreno de bajada.

2. Problema de Producción (Fábrica Metalúrgica)

Una empresa metalúrgica elabora diariamente 42000 unidades mensuales de una pieza para 3 fábricas de carrocería de buses. Mensualmente la fábrica 1 necesita cierta cantidad de piezas igual a la suma de las necesidades de las restantes fábricas juntas. En cambio, la fábrica 2 necesita un 20% más que la mitad de lo solicitado por la fábrica 1 más la tercera parte de lo que solicita la fábrica 3. Determine la cantidad que necesita cada fábrica.

▷ Solución:

Sean las variables involucradas:

$x$: Cantidad de piezas que solicita la fábrica 1.
$y$: Cantidad de piezas que solicita la fábrica 2.
$z$: Cantidad de piezas que solicita la fábrica 3.

Del enunciado se forma el siguiente sistema:

\begin{align*} x + y + z &= 42000 \\ x &= y + z \\ y &= 1.2 \left(\frac{x}{2} + \frac{z}{3}\right) \end{align*}

Reescribiendo y ordenando el sistema (multiplicando la tercera ecuación para eliminar decimales y fracciones):

\begin{cases} x + y + z = 42000 \\ x – y – z = 0 \\ -6x + 10y – 4z = 0 \end{cases}

Empleando la Regla de Cramer:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -6 & 10 & -4 \end{vmatrix} = 28 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 42000 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 10 & -4 \end{vmatrix} = 588000 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 42000 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -6 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 420000 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 42000 \\ 1 & -1 & 0 \\ -6 & 10 & 0 \end{vmatrix} = 168000 $$

Calculando las variables:

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{588000}{28} = 21000 \quad;\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{420000}{28} = 15000 \quad;\quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{168000}{28} = 6000 $$

Por lo que la primera fábrica necesita 21000 unidades, la segunda fábrica 15000 unidades y la tercera fábrica 6000 unidades mensualmente.

3. Problema de Ecosistema (Especies de Peces)

El Departamento de pesca y caza proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad de alimento 1, 1 unidad de alimento 2 y 1 unidad de alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana en promedio 3 unidades de alimento 1, 4 de alimento 2 y 1 de alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 del alimento 2 y 1 del alimento 3. Cada semana se suministran al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 17000 unidades del alimento 3. Si se supone que los peces comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

▷ Solución:

Se denotan las variables como:

$x_1$: Cantidad de peces de la especie 1
$x_2$: Cantidad de peces de la especie 2
$x_3$: Cantidad de peces de la especie 3

De acuerdo a los datos, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en forma matricial:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25000 \\ 20000 \\ 17000 \end{pmatrix} $$

Calculando el rango de la matriz ampliada (escalonando):

\begin{align*} [A|b] &= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 1 & 4 & 1 & 20000 \\ 1 & 1 & 1 & 17000 \end{array} \right) \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 – F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – F_1} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & -2 & -1 & -8000 \end{array} \right) \xrightarrow{F_3 \leftarrow F_3 + 2F_2} \\[10pt] &\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & 0 & -3 & -18000 \end{array} \right) \end{align*}

De esto podemos obtener el siguiente sistema equivalente:

$$ S’: \begin{cases} x_1 + 3x_2 + 2x_3 &= 25000 \\ x_2 – x_3 &= -5000 \\ -3x_3 &= -18000 \end{cases} $$

Despejando de la última ecuación:
$-3x_3 = -18000 \Rightarrow x_3 = 6000$

Sustituyendo hacia arriba:
$x_2 – 6000 = -5000 \Rightarrow x_2 = 1000$
$x_1 + 3(1000) + 2(6000) = 25000 \Rightarrow x_1 = 10000$

Entonces, deben coexistir 10000 peces de la especie 1, 1000 de la especie 2 y 6000 peces de la especie 3.

Conclusión

Un sistema de ecuaciones lineales permitió modelar y dar solución a distintos problemas en diversas áreas del conocimiento, donde por lo general, se busca que el sistema sea compatible. Para la solución de estos sistemas se pueden utilizar todas las herramientas vistas hasta el momento, es decir, la Regla de Cramer o el algoritmo de Gauss-Jordan según sea lo más conveniente.

Los sistemas de ecuaciones lineales en su forma matricial, resultaron ser una herramienta fundamental para modelar problemas donde la cantidad de variables y de ecuaciones no son menores. De esta forma se podrán utilizar herramientas computacionales para sistemas más complejos.