Operaciones elementales

Objetivo

Esta cápsula permitirá conocer el concepto de operaciones elementales en una matriz, para su posterior utilización en la obtención de su rango, determinante, inversa y solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Introducción

Se conoce como operaciones elementales las filas en una matriz, también las operaciones de suma entre filas, así como la amplificación por escalares no nulos, una final o intercambio de filas.

A continuación, desarrollaremos este tema mediante un ejercicio.

Operaciones elementales

Determine la matriz equivalente, escalonada y reducida por fila de:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Para obtener una matriz escalonada, usaremos el concepto de pivote que serán los elementos de la diagonal principal, que, por lo general, los usaremos como 1.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_1 \leftrightarrow F_2$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1$

Op 2: $F_3 \leftarrow F_3 – 3F_1$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_2 \leftarrow -\frac{1}{4} \cdot F_2$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix} $$

Op 1: $F_1 \leftarrow F_1 – 3F_2$

Op 2: $F_3 \leftarrow F_3 + 7F_2$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_3 \leftarrow -\frac{1}{5} \cdot F_3$

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Operación: $F_1 \leftarrow F_1 – 2F_3$

Matriz Reducida Final:

$$ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

El rango de la matriz por fila es 3, ya que no se anula ninguna fila.

Conclusión

En resumen, para realizar las operaciones elementales se deben utilizar pivotes unitarios, de forma que las operaciones realizadas sean menos complejas de efectuar. Si se busca escalonar una matriz esta se obtiene cuando la matriz es diagonal, si la matriz que se quiere escalonar es una matriz cuadrada.

De esta manera, teniendo la matriz escalonada reducida por filas se puede determinar el rango de ella, como el número de filas no nulas que se obtienen en la matriz escalonada reducida por filas.