Álgebra Lineal – Determinantes

Unidad 1

Determinantes

Introducción

En este apunte veremos la relación que existe entre un escalar único a cada matriz cuadrada que llamaremos determinante, el que es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales que poseen solución única y para saber si una matriz cuadrada posee inversa. Se entregarán las propiedades del determinante y como estás pueden ayudar a su cálculo de forma más eficiente. No se puede dejar de mencionar que existen aplicaciones donde se puede utilizar el determinante de una matriz para analizar problemas dentro de un contexto determinado, como por ejemplo, el de análisis de máximos y mínimos de funciones de dos o más variables que se utilizan en el área de la economía, entre otros casos.

1.3 Determinantes

Se suele definir como determinante a la función denotada como $\det$, tal que $\det: M_{n} \rightarrow \mathbb{K}$, donde $\mathbb{K}$ es un escalar y $M_{n}$ es el conjunto de toda matriz cuadrada de orden $n$.

Determinante de Orden 2

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 2. Es decir:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Se define el determinante de $A$ como:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $$

▷ Ejemplo: Calcular determinante de orden 2

Considere la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} $$

Solución:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 5) – (1 \cdot 8) = -15 – 8 = -23 $$

Determinante de Orden 3

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3, en la forma:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Se define el determinante de $A$ (desarrollando por la primera fila) como:

$$ \det(A)_{F_1} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} – a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $$

Observación: Regla de Sarrus

Existe una forma práctica de calcular el determinante de una matriz de orden 3 conocida como Regla de Sarrus. Para ello se pueden agregar las dos primeras filas al final (o las dos primeras columnas a la derecha) y multiplicar en diagonal:

$$ \det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) – (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) $$

▷ Ejemplo: Determinante $3 \times 3$ y Regla de Sarrus

Sea la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$

Método 1: Por definición (cofactores)

\begin{align*} \det(A) &= 1 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \\[10pt] &= 1(3 \cdot -2 – 0 \cdot -1) – 2(0 \cdot -2 – 2 \cdot -1) + 0 \\[10pt] &= 1(-6) – 2(2) \\[10pt] &= -6 – 4 = -10 \end{align*}

Método 2: Regla de Sarrus

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[10pt] &= (1 \cdot 3 \cdot -2 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \cdot -1) – (0 \cdot 3 \cdot 2 + -1 \cdot 0 \cdot 1 + -2 \cdot 2 \cdot 0) \\[10pt] &= (-6 + 0 – 4) – (0 + 0 + 0) \\[10pt] &= -10 \end{align*}

Regla General para Determinantes

Para cualquier orden de la matriz, se puede obtener su determinante usando la expansión por cofactores (Regla de Laplace):

Expandiendo por la fila $i$:

$$ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot (-1)^{i+k} \det(A_{ik}) $$

Expandiendo por la columna $j$:

$$ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{kj} \cdot (-1)^{k+j} \det(A_{kj}) $$

Donde la submatriz $A_{ij}$ se obtiene suprimiendo la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $A$.

▷ Ejemplo: Expansión por columna y por fila

Utilizando la misma matriz anterior:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$

Usando la tercera columna ($j=3$):

\begin{align*} \det(A) &= \sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+3} a_{i3} \det(A_{i3}) \\[10pt] &= (-1)^{1+3} a_{13} \det(A_{13}) + (-1)^{2+3} a_{23} \det(A_{23}) + (-1)^{3+3} a_{33} \det(A_{33}) \\[10pt] &= (-1)^{4} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{5} \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{6} \cdot (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \\[10pt] &= 0 – (-1)(0 – 4) – 2(3 – 0) \\[10pt] &= 0 – 4 – 6 = -10 \end{align*}

Propiedades de los Determinantes

Considerando las matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden $n$ y el escalar $c \in \mathbb{K}$. Se cumple:

1

$$ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) $$
2

$$ \det(A) = \det(A^{t}) $$
3

Si una fila o columna de la matriz $A$ es nula, entonces $\det(A) = 0$.
4

Si una fila o columna tiene un factor escalar común en la matriz $A$, entonces $\det(A) = c \cdot \det(B)$, donde $B$ es la matriz resultante de factorizar una sola fila o columna por $c$.
5

Si una fila es múltiplo de otra y/o una columna es múltiplo de otra, entonces el determinante de esa matriz es cero.
6

Si la matriz $B$ se obtiene intercambiando la fila $i$ con la fila $j$ de la matriz $A$, entonces $\det(B) = -\det(A)$.
7

Si la matriz $B$ se obtiene amplificando la fila $i$ de la matriz $A$ por $c$, entonces $\det(B) = c \cdot \det(A)$.
8

Si la matriz $B$ se obtiene sumando a la fila $i$ de la matriz $A$, $c$ veces la fila $j$, entonces $\det(B) = \det(A)$.

Nota: Las operaciones elementales mencionadas anteriormente se pueden aplicar para columnas. El fin de ellas en determinantes numéricos es lograr la mayor cantidad de elementos ceros en una fila o columna para facilitar el desarrollo por la regla general de determinantes (cofactores).

Ejemplos Prácticos con Propiedades

1. Reducción a matriz triangular / ceros en columna

Determine el determinante de la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} $$

Solución:

Usando operaciones elementales para formar ceros en la primera columna:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \xrightarrow[F_3 \leftarrow F_3 + F_1]{F_2 \leftarrow F_2 – 3F_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & -6 & 11 \\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix} $$

Luego, como tiene ceros en la primera columna, al desarrollar por esa columna el determinante de orden 3 se reduce a uno de orden 2:

$$ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 11 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 – 55) = -55 $$

2. Determinante algebraico (con incógnita $x$)

Considere la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} -5-x & 4 & 4 \\ -4 & 3-x & 4 \\ -4 & 4 & 3-x \end{pmatrix} $$

Demuestre que: $\det(A) = (x+1)^2(3-x)$

Solución:

Usando operaciones elementales para reducir el determinante:

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} -5-x & 4 & 4 \\ -4 & 3-x & 4 \\ -4 & 4 & 3-x \end{vmatrix} \xrightarrow{C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3} \begin{vmatrix} 3-x & 4 & 4 \\ 3-x & 3-x & 4 \\ 3-x & 4 & 3-x \end{vmatrix} $$

Factorizando por $(3-x)$ en la primera columna:

$$ \det(A) = (3-x) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3-x & 4 \\ 1 & 4 & 3-x \end{vmatrix} $$

Reduciendo el determinante con operaciones de fila ($F_2 \leftarrow F_2 – F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 – F_1$):

$$ \det(A) = (3-x) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & -1-x & 0 \\ 0 & 0 & -1-x \end{vmatrix} $$

Desarrollando por la primera columna (ahora es una matriz triangular superior, por lo que el determinante es el producto de su diagonal):

\begin{align*} \det(A) &= (3-x) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} -1-x & 0 \\ 0 & -1-x \end{vmatrix} \\[10pt] &= (3-x)(-1-x)^2 \\[10pt] &= (3-x)(1+x)^2 \end{align*}

Conclusión

El determinante se puede calcular solamente a matrices cuadradas y es un escalar único asociado a ella. Para determinar el valor de un determinante podemos aplicar definición o fórmulas establecidas, pero también se pueden aplicar operaciones elementales por filas y columnas con el fin de reducir los pasos para el cálculo del determinante.

El valor de un determinante podrá ser ocupado en diversos problemas como por ejemplo el análisis y solución de sistemas de ecuaciones, cálculo de inversa, obtención de valores y vectores propios, y el análisis y búsqueda de máximos y mínimos de funciones de dos o más variables.