Mecánica de fluidos

Para simplificar el estudio de los fluidos en movimiento, consideraremos que los fluidos a tratar son «fluidos ideales». Es decir, realizaremos las siguientes suposiciones:

1. El fluido es no viscoso: se desestima la fricción interna del fluido.
2. El flujo es estable: se considera un flujo estable o laminar, donde todas las partículas que pasan por un punto tienen la misma velocidad.
3. El fluido es incompresible: se asume que la densidad del fluido es constante, lo que significa que es incompresible.
4. Flujo irrotacional: en este caso, el fluido no posee movimiento angular alrededor de ningún punto.

Las partículas de fluido siguen líneas de corriente en un flujo estable, donde la velocidad es tangente a estas líneas. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de flujo, que impide que las partículas de fluido fluyan hacia los lados. Este concepto es crucial para comprender cómo se comportan los fluidos en diversas situaciones.

Pensemos en un fluido ideal moviéndose a través de una tubería cuya área de sección varía, como se muestra en la figura. Ya que el fluido es ideal, asumiremos que sus partículas se mueven a lo largo de líneas de corriente con un flujo estable.

Figura 1. Ecuación continua de flujo.

Entonces, en un intervalo de tiempo determinado, a través de los puntos 1 y 2, tendremos que las masas de fluido que pasa a través de cada uno de los puntos del tubo son iguales entre sí. Es decir, $m_1 = m_2$. Pero $m = \rho V$, por lo tanto:

Por otro lado, tenemos que el volumen es el área por la distancia ($V = A \cdot d$). Entonces;

Y ya que el intervalo de tiempo considerado es igual para ambos puntos, se tiene que:

Simplificando, tenemos la Ecuación de Continuidad de Flujo:

Si analizamos esto, obtenemos que mientras mayor sea el área de sección del tubo, menor será su velocidad, y viceversa. Esto se puede ejemplificar en un río; si su cauce es ancho, la velocidad de flujo será baja, pero si el cauce del río disminuye, aumentará la velocidad de flujo (un rápido).

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Partiendo de la ecuación de continuidad, tenemos que:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

Despejando $v_2$:

$$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$$

Reemplazando los valores (y considerando la relación de áreas a partir del diámetro):

$$v_2 = \frac{\pi (0,01)^2 \cdot 1,5}{\pi (0,02)^2} = 0,375\text{ m/s}$$

El principio de Bernoulli es un concepto fundamental en la dinámica de fluidos que describe el comportamiento de un fluido en movimiento. Este principio establece que en un flujo de fluido ideal y sin fricción, la suma de la presión estática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen es constante a lo largo de una corriente de fluido.

En otras palabras, cuando el fluido se mueve a lo largo de una corriente, la presión, la velocidad y la altura del fluido están relacionadas de tal manera que, si una de estas variables aumenta, las otras deben disminuir y viceversa, manteniendo la suma constante.

Matemáticamente, el principio de Bernoulli se expresa mediante la ecuación de Bernoulli:

Donde:

• $P$ es la presión estática del fluido.
• $\rho$ es la densidad del fluido.
• $v$ es la velocidad del fluido.
• $g$ es la aceleración debido a la gravedad.
• $y$ (o $h$) es la altura del fluido por encima de un punto de referencia.

Si aplicamos esto al tubo mostrado en la figura 1 (o a cualquier par de puntos a lo largo del flujo), tenemos que la ecuación se puede expresar como:

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Partiendo de la ecuación 3, tenemos que:

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho gy_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho {v_2}^2 + \rho gy_2$$

Despejando analíticamente la velocidad $v_2$:

$$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 – P_2 + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho gy_1 – \rho gy_2)}{\rho}}$$

$$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 – P_2 + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2 + \rho g(y_1 – y_2))}{\rho}}$$

Ya que la altura del tubo no cambia, $y_1$ e $y_2$ son iguales (es decir, $y_1 – y_2 = 0$), entonces la ecuación se reduce a:

$$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 – P_2 + \frac{1}{2}\rho {v_1}^2)}{\rho}}$$

Reemplazando los valores dados en el problema:

$$v_2 = \sqrt{\frac{2(253000 – 155000 + \frac{1}{2}(1000)\cdot 8^2)}{1000}} = 16,1\text{ m/s}$$