Estática y dinámica del sólido rígido
2.2. Momento de inercia. Rotación y traslación pura.
Introducción
Una diferencia sustancial que existe entre los sólidos rígidos bajo movimientos de traslación y sólidos bajo movimientos de rotación es que las velocidades de estos últimos dependen de su distancia al eje de rotación. Por ello, se requiere una aproximación diferente que considere la posición de cada objeto.
Una observación experimental en el tratamiento de la rotación de sólidos rígidos es que estos son más difíciles de rotar si su masa se encuentra más alejada del eje de rotación. Para medir esta resistencia a la rotación que ofrecen los sólidos rígidos, se define el momento de inercia, cuyo valor dependerá tanto del valor de cada masa como de su posición respecto del eje de rotación. En general, los momentos de inercia de interés son aquellos respecto a un eje que pasa por el centro de masas del objeto, pues esos ejes estarán alineados con las simetrías de los respectivos objetos.
Si el sólido rota en un eje distinto a uno que pasa por su centro de masas, el momento de inercia será mayor y será más difícil rotar al sólido. El teorema del eje paralelo permitirá cuantificar el aumento del momento de inercia para estos casos.
Guía de Ejercicios
Ejercicio 1
Se tiene un casquete esférico delgado de radio $r = 17\text{ cm}$ y masa $m = 8\text{ kg}$. Determine el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
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Ejercicio 2
Se tiene una barra delgada de largo $l = 2\text{ m}$, y masa $m = 5\text{ kg}$. Determine:
- a. El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
- b. El momento de inercia respecto a un eje que pasa por uno de sus extremos.
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- a. $I = 1,67 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
- b. $I = 6,67 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
Ejercicio 3
Se tiene una placa rectangular de lados $l = 95\text{ cm}$ y $a = 40\text{ cm}$, y masa $m = 2\text{ kg}$. Determine el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
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Ejercicio 4
Se tiene un anillo de radio $r = 58\text{ cm}$ y $m = 1,3\text{ kg}$ de masa. Determine el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
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Ejercicio 5
Dos esferas sólidas de $m_{1} = m_{2} = m = 2,7\text{ kg}$ están unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de largo $3\text{ m}$. Determine el punto sobre el cual se deben hacer girar para tener un momento de inercia $I = 13,5 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$.
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Ejercicio 6
Tres masas $m_{1} = m_{3} = 2\text{ kg}$ y $m_{2} = 3\text{ kg}$ están conectadas por barras rígidas de masas despreciables, como se muestra en la figura. Si se sabe que $r_{1} = 30\text{ cm}$ y $r_{2} = 20\text{ cm}$, determine el momento de inercia del sistema de partículas en torno al eje perpendicular a la página en los siguientes puntos:
- a. En el punto A.
- b. En el punto B.
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- a. $I_{A} = 0,182 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
- b. $I_{B} = 0,280 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
Ejercicio 7
A una barra de masa despreciable y largo $L = 5\text{ m}$ se le conectan dos masas $m_{1} = 1,56\text{ kg}$ y $m_{2} = 2,75\text{ kg}$. Determine el momento de inercia del sistema de partículas en torno al eje perpendicular a la barra en los siguientes puntos:
- a. En el punto A.
- b. En el punto B.
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- a. $I_{A} = 41,11 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
- b. $I_{B} = 24,97 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
Ejercicio 8
Cuatro masas iguales de valor $m = 0,68\text{ kg}$ están conectadas por barras rígidas de masas despreciables, como se muestra en la figura. Si se sabe que $L = 3\text{ m}$ y $D = 4\text{ m}$, determine el momento de inercia del sistema de partículas en torno al eje perpendicular a la pagina en el punto A.
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Ejercicio 9
Se tiene un disco circular de masa $m = 2\text{ kg}$ y radio $r = 40\text{ cm}$. Determine:
- a. El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
- b. El momento de inercia respecto a un eje que está a 30 cm de su centro.
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- a. $I = 0,16 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
- b. $I = 0,34 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
Ejercicio 10
Se tiene un cilindro hueco de masa $m = 4,6\text{ kg}$, radio interno $r_{int} = 25\text{ cm}$ y radio exterior $r_{ext} = 29\text{ cm}$. Determine:
- a. El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro.
- b. El momento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa paralelo al borde exterior del cilindro.
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- a. $I = 0,337 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$
- b. $I = 0,724 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$