Cápsula Unidad 2 – Rotación y energía rotacional
Cápsula Unidad 2

Estática y dinámica del sólido rígido

2.3. Rotación de un sólido rígido y energía rotacional

Objetivo

Esta cápsula te permitirá aplicar, de manera transversal, las cantidades físicas rotacionales revisadas (inercia, torque, energía cinética rotacional) para describir el movimiento de rotación de un sólido rígido.

Introducción

La segunda ley de Newton para cuerpos en rotación establece que el torque neto que actúa sobre un sólido rígido produce sobre este una aceleración angular, proporcional al momento de inercia respecto a su eje de rotación:

$$\tau_{neto} = I\alpha$$

La energía cinética rotacional del sólido rígido es proporcional a la inercia del cuerpo respecto a su eje de rotación y se obtiene a través de la siguiente relación:

$$K_{R} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

El trabajo rotacional es el equivalente del trabajo mecánico lineal estudiado y corresponde al producto punto entre el torque y el desplazamiento angular del cuerpo:

$$W = \tau_{neto}\Delta\theta$$

Desarrollo del ejercicio

Una barra delgada de masa $m = 4,8\text{ kg}$ y largo $L = 2,7\text{ m}$, está sujeta al piso en el punto A por una bisagra como indica la figura. Si inicialmente la barra se encuentra de forma vertical antes de caer al piso, determine:

[Imagen de una barra delgada cayendo desde una posición vertical, sujeta por una bisagra en la base]
  1. El momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por el punto A.
  2. La velocidad angular con la que golpea el piso.
  3. El torque realizado por la barra.
  4. La aceleración angular que experimenta la barra.
▷ Ver Solución Paso a Paso

a. Momento de inercia

El momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el extremo, puede ser obtenido en términos del momento de inercia en torno al eje del centro de masa aplicando el teorema del eje paralelo, considerando que la distancia entre ambos ejes es $D = \frac{L}{2}$:

\begin{align*} I_{A} &= I_{CM} + M\left(\frac{L}{2}\right)^{2} = \frac{1}{12}ML^{2} + \frac{1}{4}ML^{2} \\ I_{A} &= \frac{1}{3}ML^{2} = \frac{1}{3}(4,8 \cdot 2,7^{2}) \end{align*}
$$I_{A} = 11,66\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$

b. Velocidad angular

Mientras la barra cae al piso podemos ver que el centro de este cae una distancia $L/2$. Por conservación de la energía, tenemos que:

$$E_{p} = E_{cr}$$ $$mgh = \frac{1}{2}I_{A}\omega^{2}$$ $$mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2}I_{A}\omega^{2}$$

Despejando, se tiene:

$$\omega = \sqrt{I_{A}mg} = \sqrt{11,6 \cdot 4,8 \cdot 0,8} = 23,36\text{ rad/s}$$

* Nota: El desarrollo transcrito refleja los cálculos presentados en el documento original.

c. Torque realizado

El trabajo realizado por una fuerza externa sobre todo el sólido se expresa como:

$$W = \tau_{neto}\Delta\theta$$

Sabemos que el trabajo realizado por la barra está dado por el cambio de su energía potencial y el desplazamiento angular es $\Delta\theta = \frac{\pi}{2}$:

$$W = -\Delta E_{p} = -(mgh_{f} – mgh_{i}) = mgh_{i} = mg\frac{L}{2} = \frac{4,8 \cdot 9,8 \cdot 2,7}{2} = 63,51\text{ J}$$

Despejando el torque:

$$\tau_{neto} = \frac{W}{\Delta\theta} = \frac{63,5}{\pi/2} = 40,45\text{ Nm}$$

d. Aceleración angular

La segunda ley de Newton para la rotación de sólidos nos dice:

$$\tau_{neto} = I\alpha$$

Entonces, se tiene:

$$\alpha = \frac{\tau_{neto}}{I} = \frac{40,45}{11,66} = 3,47\text{ rad/s}^{2}$$

Conclusión

La relación entre el torque, la aceleración angular y el momento de inercia permite una descripción completa del movimiento de un sólido rígido. De esta manera, si este se desplaza con un movimiento de traslación, entonces serán aplicables todas las cantidades físicas lineales para describir su movimiento en términos de fuerzas, aceleraciones o energías cinéticas.

De modo similar, si el sólido describe una rotación, serán aplicables las cantidades físicas rotacionales como la energía cinética rotacional, el torque o la aceleración angular. En estos casos, las partículas describirán movimientos circulares. En general, un sólido rígido se desplazará con una combinación de movimientos de traslación y de rotación, por lo que estas categorías se aplican de forma simultánea durante el desarrollo de su movimiento.

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