Unidad 2 – Centro de Masa y Torque

Unidad 2

Estática y dinámica del sólido rígido

2.1. Centro de masa y torque

Introducción

Uno de los conceptos útiles para describir sistemas de partículas es el centro de masa, que permite simplificar la distribución de masa de un sistema de partículas frente a la acción de una fuerza externa. El centro de masa es una medida representativa de la masa promedio del sistema de estudio, sea este discreto o continuo. Este es el punto comúnmente utilizado como confluencia de las fuerzas durante el análisis de fuerzas en el estudio de la dinámica de los cuerpos.

Sin embargo, para describir objetos más realistas, debemos incorporar elementos adicionales que hasta ahora han sido despreciados. Si una distribución de masa es tal que los puntos materiales permanecen fijos respecto de los otros puntos, entonces dicha distribución se conoce como sólido rígido. En un sólido rígido, la distancia relativa entre cualquier punto permanecerá constante, incluso bajo la acción de fuerzas. Este concepto permite describir objetos continuos indeformables.

Para analizar la acción de una fuerza externa que se ejerce sobre un sólido rígido, se debe distinguir en qué punto actúa dicha fuerza. Si actúa en el centro de masas, el objeto describirá un movimiento puramente traslacional, pero si actúa en un punto distinto, el sólido puede describir una rotación. El efecto de la rotación por causa de una fuerza se conoce como torque, una cantidad física indispensable para describir el comportamiento de los sólidos rígidos bajo la acción de una fuerza.

Centro de masa

El centro de masas de una distribución continua o discreta de partículas corresponde a un punto específico del sistema tal que, si se concentra toda la masa sobre ese punto y se aplica una fuerza neta sobre este, el punto se moverá en la dirección equivalente al sistema completo.

Distribución discreta

Si se tiene un sistema de dos partículas de masa $m_{1}$ y $m_{2}$ que se encuentran en las posiciones $x_{1}$ y $x_{2}$ respectivamente, entonces la ubicación del centro de masa se obtiene mediante la siguiente expresión:

$$x_{CM} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$$

Si el sistema se compone de muchas partículas, el centro de masas será la suma de la contribución de cada una de esas partículas:

$$x_{CM} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \cdot\cdot\cdot + m_{n}x_{n}}{m_{1} + m_{2} + \cdot\cdot\cdot + m_{n}} = \frac{\sum_{i} m_{i}x_{i}}{\sum_{i} m_{i}}$$

Si el sistema se distribuye en el espacio tridimensional, entonces el centro de masas corresponderá a un punto del espacio, cuyo vector posición $\vec{r}_{CM}$ será:

$$\vec{r}_{CM} = x_{CM}\hat{i} + y_{CM}\hat{j} + z_{CM}\hat{k}$$

Distribución continua

Si se considera una distribución continua de masa, con una masa total M, entonces el centro de masa será obtenido mediante la suma de todos los elementos diferenciales de masa $dm$:

$$x_{CM} = \frac{1}{M}\int x dm \quad ; \quad y_{CM} = \frac{1}{M}\int y dm \quad ; \quad z_{CM} = \frac{1}{M}\int z dm$$

Ejemplo 1: Sistema de tres partículas discretas

Considere el sistema de tres partículas $m_{1} = 5\text{ kg}$, $m_{2} = 1\text{ kg}$ y $m_{3} = 2\text{ kg}$ con ubicaciones descritas por los vectores posición correspondientes indicados en la figura. Determine las coordenadas del centro de masa del sistema.

▷ Ver Solución

Para determinar las coordenadas $x_{CM}$ e $y_{CM}$, se deben determinar las coordenadas cartesianas de los vectores posición de las masas correspondientes:

\begin{align*} \vec{r}_{1} &= (3 \cos 60^\circ \hat{i} + 3 \sin 60^\circ \hat{j})\text{ cm} \\ \vec{r}_{2} &= (4 \cos 40^\circ \hat{i} – 4 \sin 40^\circ \hat{j})\text{ cm} \\ \vec{r}_{3} &= (-2\hat{i} + 0\hat{j})\text{ cm} \end{align*}

Con esta información, se calculan las coordenadas del centro de masa utilizando la fórmula para 3 partículas discretas:

$$x_{CM} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} = \frac{5\text{ kg} \cdot 3 \cos 60^\circ\text{ cm} + 1\text{ kg} \cdot 4 \cos 40^\circ\text{ cm} + 2\text{ kg} \cdot (-2\text{ cm})}{8\text{ kg}}$$

$$y_{CM} = \frac{m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2} + m_{3}y_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} = \frac{5\text{ kg} \cdot 3 \sin 60^\circ\text{ cm} – 1\text{ kg} \cdot 4 \sin 40^\circ\text{ cm} + 2\text{ kg} \cdot 0}{8\text{ kg}}$$

$$y_{CM} = 1,30\text{ cm}$$

Ejemplo 2: Barra Uniforme

Determine las coordenadas del centro de masa de la barra de la figura, de largo L y de masa M distribuida uniformemente con densidad de masa lineal $\lambda = \frac{M}{L}$.

▷ Ver Solución

Consideramos a la barra como una distribución continua de masa uniforme unidimensional, a lo largo del eje x. Para determinar las coordenadas del centro de masa $x_{CM}$ se utiliza la siguiente fórmula:

$$x_{CM} = \frac{1}{M}\int x dm$$

Donde $dm$ corresponde a un elemento diferencial de masa de la barra. Como la densidad de masa de la barra es constante, el elemento $dm$ puede escribirse: $dm = \lambda dx$.

Se reemplaza este término en la integral:

$$x_{CM} = \frac{\lambda}{M} \int_{0}^{L} x dx = \frac{\lambda}{M} \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{0}^{L} = \frac{\lambda L^{2}}{2M}$$

Sustituyendo $\lambda = \frac{M}{L}$:

$$x_{CM} = \frac{\left(\frac{M}{L}\right) L^{2}}{2M} = \frac{ML}{2M} = \frac{L}{2}$$

Como es de esperar, el centro de masas de una barra uniforme de largo L se encontrará en su centro geométrico, $L/2$.

Torque

Si se tiene un sólido rígido fijado en un punto O cualquiera, de modo tal que puede rotar en torno a un eje que pasa por ese punto, entonces se observa que al aplicar una fuerza $\vec{F}$ cualquiera, el cuerpo tiende a rotar en torno al eje.

La cantidad física que mide el efecto de rotación causado por dicha fuerza se conoce como torque, y se denomina con la letra griega $\tau$ (tau). El torque, también conocido como momento de fuerza, es un vector obtenido del producto cruz entre el vector posición $\vec{r}$ del punto de aplicación de la fuerza (considerando a O como origen) y la misma fuerza aplicada $\vec{F}$:

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

El vector $\vec{r}$ se conoce como brazo del torque. La magnitud del torque se mide en Newton por metro (Nm) y puede calcularse en términos de la magnitud de la fuerza F, la magnitud del brazo y el ángulo $\theta$ que forman ambos vectores:

$$\tau = rF \sin \theta$$

El signo del torque permitirá distinguir el sentido de giro del objeto. Por convención, si el objeto rota en dirección antihoraria, el torque será positivo. Si el giro se desarrolla en dirección horaria, el signo será negativo.

Si múltiples fuerzas actúan sobre un cuerpo, el torque resultante es la suma de los torques individuales. Si un cuerpo se encuentra bajo la acción de múltiples torques pero no se registra rotación, se deduce que el torque neto es cero. Esta condición se conoce como equilibrio rotacional:

$$\tau_{neto} = \sum_{i} \tau_{i} = 0$$

Ejemplo 3: Equilibrio Rotacional

Determine la tensión $\vec{T}$ de la cuerda conectada a la viga en equilibrio de la figura, conectada a la pared en el punto A mediante un anclaje que permite la rotación. La viga tiene distribución de masa uniforme, un largo $L=3\text{ m}$, una masa $M=50\text{ kg}$ y en cuyo extremo libre se encuentra suspendida una masa $m=20\text{ kg}$.

▷ Ver Solución

Se identifica A como el punto por donde se encuentra el eje de rotación. Sobre la viga actúan tres fuerzas: el peso de la viga, el peso de la masa $m$ y la tensión de la cuerda.

Peso de la viga ($\tau_{v}$): Debido a que tiene distribución uniforme, actúa en su centro geométrico ($L/2$). Provoca un giro horario (negativo) y es perpendicular al brazo.
$$\tau_{v} = -\frac{L}{2} P_{v} \sin 90^\circ = -\frac{MgL}{2}$$
Peso del bloque ($\tau_{b}$): Se ejerce en el extremo de la barra (distancia $L$). Provoca un giro horario (negativo) y es perpendicular.
$$\tau_{b} = -L P_{b} \sin 90^\circ = -mgL$$
Tensión de la cuerda ($\tau_{T}$): Se aplica a una distancia $\frac{3}{4}L$ con un ángulo de $45^\circ$. Provoca un giro antihorario (positivo).
$$\tau_{T} = \frac{3}{4}L T \sin 45^\circ$$

Como la viga se encuentra en equilibrio rotacional, la suma de los torques debe ser cero ($\sum \tau_i = 0$):

\begin{align*} \tau_{v} + \tau_{b} + \tau_{T} &= 0 \\ -\frac{MgL}{2} – mgL + \frac{3}{4}L T \sin 45^\circ &= 0 \end{align*}

Factorizamos la L y la eliminamos, para luego despejar la tensión T:

$$T = \frac{4g}{3 \sin 45^\circ} \left(\frac{M}{2} + m\right)$$

Reemplazando los valores numéricos:

$$T = \frac{4 \cdot 9,8 \frac{m}{s^2} \cdot \left(\frac{50\text{ kg}}{2} + 20\text{ kg}\right)}{3 \sin 45^\circ} \approx 831,56\text{ N}$$

Conclusión

El centro de masas es un punto único perteneciente a un sistema de partículas discreto o continuo, en el cual, al aplicarse una fuerza, se obtiene como resultado solo una aceleración lineal, sin aceleración angular. Conocer este punto permite simplificar muchos cálculos acerca de la evolución del movimiento del sistema de partículas o cuerpos rígidos. En el caso de un cuerpo rígido con distribución de masa uniforme, el centro de masa se ubica en su centroide.

El torque es el efecto de rotación producido por una fuerza que se encuentra a cierta distancia de un eje de rotación del cuerpo o sistema de partículas. Esta distancia es también conocida como el brazo del torque. Los torques son entonces los agentes que ejercen una rotación en el cuerpo, es decir, una aceleración angular sobre los cuerpos. Tal como la definición Newtoniana de la fuerza la considera como responsable de los movimientos de traslación, el torque es el responsable de la torsión, o giro alrededor de un eje.

Tanto el centro de masas como el torque fueron estudiadas ampliamente por Arquímedes. Como se puede desprender de esta observación, el estudio de la mecánica de los cuerpos rígidos no puede ignorar la rotación de estos. Por ello, el centro de masa y el torque serán conceptos indispensables para analizar el movimiento de cuerpos masivos o de sistemas de partículas.