Estática y dinámica del sólido rígido

2.2. Momento de inercia. Rotación y traslación pura.

Objetivo

Esta cápsula te permitirá calcular el momento de inercia de una distribución discreta de masas y de distribuciones homogéneas de masa, para comprender cómo varía esta cantidad cuando cambia la distribución de masas del sólido en estudio.

Introducción

El momento de inercia $I$ es una propiedad del sólido rígido que cuantifica la resistencia a la rotación en torno a un eje:

$$I = \sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$$

Donde $m_{i}$ es un elemento de masa perteneciente al sólido y $r_{i}$ es la distancia existente entre este elemento de masa y el eje de rotación del sólido. La unidad de medida del momento de inercia en el sistema internacional de unidades es el $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}$.

Si se tiene una distribución continua de masa, entonces, el momento de inercia se calcula como la integral de los elementos diferenciales de masa del sólido, por el cuadrado de su distancia al eje de rotación:

$$I = \sum_{i}\Delta m_{i}r_{i}^{2} = \lim_{\Delta m \to 0} \sum_{i}\Delta m_{i}r_{i}^{2} = \int r^{2}dm$$

El teorema del eje paralelo establece que, si el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masas de un sólido rígido es $I_{CM}$, entonces el momento de inercia respecto de un eje cualquiera paralelo al eje del centro de masas y a una distancia $D$ de este es:

$$I = I_{CM} + MD^{2}$$

Desarrollo del ejercicio

Un gran disco de masa $m_{1} = 95\text{ kg}$, radio $r = 60\text{ cm}$ está unido a una pequeña masa $m_{2} = 600\text{ g}$ mediante una barra rígida de masa despreciable y de largo $d = 20\text{ cm}$, como se indica en la figura.

Determine:

El momento de inercia del sistema respecto al eje z.
El momento de inercia del sistema respecto al eje z si $m_{2}$ se ubica sobre el disco a una distancia de $r_{2} = 50\text{ cm}$ desde el centro del disco.

▷ Ver Solución Paso a Paso

a. Momento de inercia respecto al eje z

Como la masa y tamaño de $m_{2}$ son mucho más pequeños que el disco, podemos considerar a $m_{2}$ como una masa puntual ($m_{2} = 0,6\text{ kg}$). Utilizando nuestra fórmula, el momento de inercia total es la suma de los momentos:

$$I = \sum_{i}I_{i} = I_{1} + I_{2}$$

Donde $I_{1}$ corresponde al momento de inercia del disco homogéneo rotando por su centro:

$$I_{1} = \frac{m_{1}r^{2}}{2} = \frac{95 \cdot (0,6)^{2}}{2} = 17,1\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$

Donde $I_{2}$ corresponde al momento de inercia de la partícula $m_{2}$ a una distancia $R = r + d$:

$$I_{2} = m_{2}R^{2} = m_{2}(r + d)^{2} = 0,6(0,6 + 0,2)^{2} = 0,6(0,8)^{2} = 0,38\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$

Quedando el momento de inercia total como:

$$I = I_{1} + I_{2} = 17,1 + 0,38 = 17,48\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$

b. Momento de inercia si $m_{2}$ se reubica

Tomando las mismas consideraciones que en el punto anterior, la distancia de $m_2$ al eje de rotación ahora es $r_2 = 50\text{ cm} = 0,5\text{ m}$. Se tiene que:

$$I = \sum_{i}I_{i} = I_{1} + I_{2}$$

$$I = I_{1} + I_{2} = \frac{m_{1}r^{2}}{2} + m_{2}(r_{2})^{2}$$

Reemplazando los valores numéricos:

$$I = \frac{95 \cdot (0,6)^{2}}{2} + 0,6(0,5)^{2} = 17,1 + 0,15$$

$$I = 17,25\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$

Conclusión

En esta cápsula estudiamos el cálculo del momento de inercia de una distribución discreta de masas en conjunto con un sólido. También observamos que, bajo la rotación en torno a un eje específico, el momento de inercia de un sistema de partículas es la suma de los momentos de inercia de las partículas individuales.

De esta manera, si se obtiene el momento de inercia de un sólido o un sistema de partículas respecto a un eje que pasa por su centro de masas, entonces el teorema del eje paralelo permite determinar el momento de inercia en torno a cualquier eje paralelo al del centro de masas.