Colisiones en dos dimensiones

1.2. Cantidad de movimiento lineal y colisiones.

Objetivo

Esta cápsula te permitirá comprender cómo los resultados de la ley de conservación de momentum lineal pueden extenderse a una colisión en un plano bidimensional, aplicando las características vectoriales de las cantidades físicas de momentum e impulso.

Introducción

La ley de conservación de momentum lineal se expresa vectorialmente. Esto implica que la conservación de momentum ocurre simultáneamente en cualquiera de los ejes coordenados, de manera independiente.

En el caso ejemplar de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ que colisionan en un plano x-y, la conservación de momentum puede escribirse de forma independiente para cada componente:

Eje X)

$$m_{1}v_{1ix} + m_{2}v_{2ix} = m_{1}v_{1fx} + m_{2}v_{2fx}$$

Eje Y)

$$m_{1}v_{1iy} + m_{2}v_{2iy} = m_{1}v_{1fy} + m_{2}v_{2fy}$$

Si la colisión es elástica, entonces la energía cinética se conserva, lo que permite establecer:

$$\frac{1}{2}m_{1}(v_{1i})^{2} = \frac{1}{2}m_{1}(v_{1f})^{2} + \frac{1}{2}m_{2}(v_{2f})^{2}$$

Desarrollo del ejercicio

Dos partículas de igual masa $m = 160\text{ g}$ chocan elásticamente entre sí. La partícula 1 inicialmente tiene una rapidez de $|v_{1i}| = 0,384 \left[\frac{m}{s}\right]$ y forma un ángulo $\theta_{1i} = 29^\circ$ con la horizontal, como se indica en la figura. La partícula 2, por su parte, se encuentra en reposo. Después de la colisión, la partícula 1 se aleja con un ángulo de $\theta_{1f} = 43^\circ$ y la partícula 2 se mueve con un ángulo $\varphi = 18^\circ$ respecto al eje horizontal.

Determine, en unidades del S.I., las magnitudes de las velocidades finales de cada partícula.

▷ Ver Solución Paso a Paso

Podemos ver que el sistema es aislado y al ser un choque elástico, tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética se conservan en la colisión.

Datos conocidos:

$$m_1 = m_2 = 0,160\text{ kg} \quad ; \quad |v_{1i}| = 0,384 \left[\frac{m}{s}\right] \quad ; \quad \theta_{1i} = 29^\circ \quad ; \quad \theta_{1f} = 43^\circ \quad ; \quad \varphi = 18^\circ$$

1. Conservación en el eje X

Expresamos la ley de conservación de momentum para el eje horizontal:

\begin{align*} m_{1}v_{1ix} + m_{2}v_{2ix} &= m_{1}v_{1fx} + m_{2}v_{2fx} \\ m_{1}|v_{1i}|\cos \theta_{1i} &= m_{1}|v_{1f}|\cos \theta_{1f} + m_{2}|v_{2f}|\cos \varphi \end{align*}

Reemplazando los valores del problema y considerando que las masas son iguales (se simplifican):

\begin{align*} |v_{1i}|\cos \theta_{1i} &= |v_{1f}|\cos \theta_{1f} + |v_{2f}|\cos \varphi \\ 0,384 \left[\frac{m}{s}\right] \cdot \cos 29^\circ &= |v_{1f}| \cdot \cos 43^\circ + |v_{2f}|\cos 18^\circ \\ 0,336 \left[\frac{m}{s}\right] &= 0,731|v_{1f}| + |v_{2f}|0,951 \end{align*}

Despejando $|v_{1f}|$ obtenemos nuestra Ecuación (1):

$$|v_{1f}| = \frac{0,336}{0,731}\left[\frac{m}{s}\right] – \frac{0,951}{0,731}|v_{2f}| = 0,460 \left[\frac{m}{s}\right] – 1,302|v_{2f}| \quad \text{— (1)}$$

2. Conservación en el eje Y

Expresamos la ley de conservación de momentum para el eje vertical:

\begin{align*} m_{1}v_{1iy} + m_{2}v_{2iy} &= m_{1}v_{1fy} + m_{2}v_{2fy} \\ m_{1}|v_{1i}|\text{sen } \theta_{1i} &= m_{1}|v_{1f}|\text{sen } \theta_{1f} + m_{2}|v_{2f}|\text{sen } \varphi \end{align*}

Reemplazando los valores del problema (nuevamente las masas se simplifican):

\begin{align*} |v_{1i}|\text{sen } \theta_{1i} &= |v_{1f}|\text{sen } \theta_{1f} + |v_{2f}|\text{sen } \varphi \\ 0,384 \left[\frac{m}{s}\right] \text{sen } 29^\circ &= |v_{1f}| \text{sen } 43^\circ + |v_{2f}| \text{sen } 18^\circ \\ 0,186 \left[\frac{m}{s}\right] &= 0,485|v_{1f}| + |v_{2f}|0,309 \end{align*}

Despejando $|v_{1f}|$ obtenemos nuestra Ecuación (2):

$$|v_{1f}| = \frac{0,186}{0,485}\left[\frac{m}{s}\right] – \frac{0,309}{0,485}|v_{2f}| = 0,383 \left[\frac{m}{s}\right] – 0,637|v_{2f}| \quad \text{— (2)}$$

3. Resolución del sistema

Igualamos (1) con (2):

\begin{align*} 0,460 \left[\frac{m}{s}\right] – 1,302|v_{2f}| &= 0,383 \left[\frac{m}{s}\right] – 0,637|v_{2f}| \\ |v_{2f}|(1,302 – 0,637) &= 0,460 \left[\frac{m}{s}\right] – 0,383 \left[\frac{m}{s}\right] \\ |v_{2f}| \cdot 0,665 &= 0,077 \left[\frac{m}{s}\right] \end{align*}

Despejando obtenemos la magnitud final de la partícula 2:

$$|v_{2f}| = 0,116 \left[\frac{m}{s}\right]$$

Reemplazamos el valor de la velocidad final 2 en la ecuación (1):

\begin{align*} |v_{1f}| &= 0,460 \left[\frac{m}{s}\right] – 1,302|v_{2f}| \\ |v_{1f}| &= 0,460 \left[\frac{m}{s}\right] – 1,302 \cdot 0,116 \left[\frac{m}{s}\right] \end{align*}

Despejando obtenemos la magnitud final de la partícula 1:

$$|v_{1f}| = 0,309 \left[\frac{m}{s}\right]$$

Conclusión

En esta cápsula hemos estudiado el movimiento de una colisión de partículas en un sistema aislado definido en un espacio bidimensional y se ha observado que la ley de conservación de la cantidad de movimiento se conserva de manera independiente en cada uno de los ejes coordenados, lo que permite determinar con relativa facilidad las componentes de las rapideces de las partículas después de la colisión.

Al igual que en el caso unidimensional, el hecho que se conserve el momentum no necesariamente conlleva a la conservación de la energía cinética. Sin embargo, no hay que perder de vista el carácter vectorial de estas cantidades, por lo que si se necesita verificar que la colisión en estudio es elástica, la energía cinética de cada partícula se obtendrá con el módulo de la velocidad de cada partícula.