Mecánica de fluidos

3.2. Dinámica de fluidos y ecuación de Bernoulli.

Objetivo

Este ejercicio te permitirá aplicar los principios de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad para determinar la velocidad y la presión del flujo de un fluido en diferentes puntos de un sistema de tuberías, considerando cambios en el diámetro de las tuberías y la variación de la altura en el sistema.

Introducción

El principio de Bernoulli establece una relación entre la velocidad del fluido, la presión y la altura a lo largo de una corriente de fluido incompresible. Esta relación se expresa mediante la ecuación de Bernoulli:

$$P + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gh = \text{constante}$$

Donde:

$P$: es la presión estática del fluido en Newton (pascales).
$\rho$: es la densidad del fluido en $\text{kg/m}^{3}$.
$v$: es la velocidad del fluido en $\text{m/s}$.
$g$: es la aceleración debido a la gravedad igual a $9,8 \text{ m/s}^{2}$.
$h$: es la altura o profundidad del cuerpo inmerso en el fluido medida en metros.

Consideremos un tubo que cambia de diámetro y altura como el que se muestra en la siguiente figura.

Dado que la ecuación de Bernoulli se cumple a lo largo de todo el tubo, tenemos que:

$$P_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gy_{1} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gy_{2}$$

Finalmente, esta ecuación muestra que la suma de la presión estática, la presión dinámica asociada a la velocidad del fluido y la presión hidrostática asociada a la altura del fluido permanece constante a lo largo de una corriente de fluido cuando este es ideal. En esta cápsula, exploraremos los fundamentos de esta ecuación y su aplicación en una situación determinada.

Desarrollo del ejercicio

En una casa de dos pisos, circula agua a través de una cañería bombeada desde el primer piso con rapidez de $0,50 \text{ [m/s]}$ a través de un tubo de $8 \text{ [cm]}$ de diámetro, a una presión de $405.300 \text{ [Pa]}$.

¿Con qué rapidez y presión de flujo circula en un tubo de $16 \text{ [cm]}$ de diámetro en el segundo piso situado a $4 \text{ [m]}$ de altura con respecto a la bomba?

Considere que la densidad del agua dulce es igual a $1000 \text{ [kg/m}^{3}\text{]}$.

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1. Cálculo de la rapidez (Ecuación de Continuidad)

En primer lugar, utilizando la ecuación de continuidad, determinaremos la velocidad con la que circula el agua en el segundo piso de la casa. Consideremos entonces que tenemos un punto 1 en el nivel del suelo y un punto 2 a 4 metros de altura. De este modo tenemos que:

$$A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2} \quad \Leftrightarrow \quad v_{2} = \frac{A_{1}v_{1}}{A_{2}}$$

Debemos recordar que el área de sección circular de una tubería es $A = \pi r^{2}$. Luego, el radio de la tubería 1 es igual a $0,04 \text{ [m]}$, y el radio de la tubería 2 es igual a $0,08 \text{ [m]}$.

$$v_{2} = \frac{\pi (0,04)^{2} \cdot 0,5}{\pi (0,08)^{2}} = \frac{(0,04)^{2} \cdot 0,5}{(0,08)^{2}} = 0,125 \text{ [m/s]}$$

Debemos observar que al aumentar el diámetro de la tubería; y, por lo tanto, al aumentar su área, la velocidad de circulación del agua disminuye.

2. Cálculo de la presión (Ecuación de Bernoulli)

Ahora, utilizando la ecuación de Bernoulli, calcularemos la presión en el segundo piso de la casa; es decir, $P_{2}$.

$$P_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gy_{1} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gy_{2}$$

Despejado $P_{2}$ a partir de esta ecuación, tenemos que:

$$P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gy_{1} – \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} – \rho gy_{2}$$

Reorganizando los términos de la ecuación tenemos:

$$P_{2} = P_{1} + \frac{1}{2}\rho (v_{1}^{2} – v_{2}^{2}) + \rho g(y_{1} – y_{2})$$

Ahora, debemos considerar que no sabemos la altura $y_{1}$ a la cual se encuentra la bomba, pero sabemos que el punto 2 se encuentra 4 metros sobre el punto 1. Entonces, $y_{1} – y_{2} = -4 \text{ [m]}$.

Luego:

$$P_{2} = 405.400 + \frac{1}{2}(1000)(0,5^{2} – 0,125^{2}) + 1000 \cdot 9,8 (-4)$$

$$P_{2} = 366.217,2 \text{ [Pa]}$$

Es interesante observar que, al aumentar el área de sección de la tubería en el punto 2, la velocidad disminuye y la presión debería aumentar debido a que el segundo término de la expresión anterior es positivo. Sin embargo, la diferencia de altura influye más que el cambio de diámetro y finalmente, debido a que el tercer término es negativo, la presión disminuye en el punto 2.

Conclusión

Este ejercicio muestra cómo la aplicación de los principios de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad en un sistema de tuberías permite calcular la velocidad y la presión del flujo de agua en diferentes puntos del sistema.

En este caso particular, al aumentar el diámetro de la tubería en el segundo piso, la velocidad del flujo disminuye, como lo indica la ecuación de continuidad. Sin embargo, la presión no aumenta como se podría esperar debido al cambio en el diámetro, sino que disminuye, principalmente debido a la diferencia de altura entre los dos puntos del sistema.

Esto resalta la importancia de considerar no solo los cambios en el diámetro de las tuberías, sino también las variaciones en la altura en los cálculos de presión en sistemas de flujo de fluidos.