Estática y dinámica del sólido rígido

2.1. Centro de masa y torque

Objetivo

Esta cápsula te permitirá aplicar las cantidades físicas de centro de masa para analizar de manera simplificada el movimiento de sistemas de partículas. Además, podrás aplicar el concepto de torque para analizar la rotación de los cuerpos rígidos bajo la acción de fuerzas externas.

Introducción

Si se tiene un sistema compuesto de muchas partículas distribuidas en el espacio, entonces el centro de masas corresponderá a un punto del espacio, cuyo vector posición $\vec{r}_{CM}$ será:

$$\vec{r}_{CM} = x_{CM}\hat{i} + y_{CM}\hat{j} + z_{CM}\hat{k}$$

Con:

$$x_{CM} = \frac{\Sigma_{i}m_{i}x_{i}}{\Sigma_{i}m_{i}} \quad ; \quad y_{CM} = \frac{\Sigma_{i}m_{i}y_{i}}{\Sigma_{i}m_{i}} \quad ; \quad z_{CM} = \frac{\Sigma_{i}m_{i}z_{i}}{\Sigma_{i}m_{i}}$$

Si se considera una distribución continua de masa, con una masa total M, entonces el centro de masa será obtenido mediante la suma de todos los elementos diferenciales de masa $dm$:

$$x_{CM} = \frac{1}{M}\int x dm \quad ; \quad y_{CM} = \frac{1}{M}\int y dm \quad ; \quad z_{CM} = \frac{1}{M}\int z dm$$

Si se aplica una fuerza $\vec{F}$ a una distancia $r$ del punto O de fijación de un sólido rígido que rota en torno a un eje que pasa por ese punto, entonces se produce un torque sobre el cuerpo:

$$\tau = rF \sin \theta$$

Donde $r$ es el brazo de giro, $F$ la magnitud de la fuerza y $\theta$ el ángulo que forman ambos vectores. Si múltiples fuerzas actúan en múltiples puntos sobre un cuerpo, entonces cada una de las fuerzas producirá un torque. El torque resultante sobre el cuerpo corresponderá a la suma de los torques sobre este:

$$\tau_{neto} = \sum_{i}\tau_{i} = r_{1}F_{1}\sin \theta_{1} + r_{2}F_{2}\sin \theta_{2} + …$$

Si un cuerpo se encuentra bajo la acción de múltiples torques, pero no se registra rotación, se deduce que el torque neto es cero. Esta condición se conoce como equilibrio rotacional:

$$\tau_{neto} = \sum_{i}\tau_{i} = 0$$

Desarrollo del ejercicio

Una pieza homogénea de aluminio como la que se muestra en la figura se puede considerar como la unión de 3 piezas de aluminio unidas entre sí con masas $m_{1} = 300\text{ g}$, $m_{2} = 100\text{ g}$, y $m_{3} = 150\text{ g}$.

Con esta información, determine:

La ubicación del centro de masa de la pieza.
El torque ejercido sobre el punto O si se aplican dos fuerzas $F_{1} = 8\text{ N}$ y $F_{2} = 11\text{ N}$.

▷ Ver Solución Paso a Paso

a. Ubicación del centro de masa

Para determinar las coordenadas $x_{CM}$ e $y_{CM}$, se deben determinar las coordenadas cartesianas de los vectores posición de cada masa la cual, al tener una distribución de masa uniforme, el centro de masa coincide con el centro geométrico, por lo que la posición del centro de masa de cada una es:

\begin{align*} \vec{r}_{1} &= (0,05\hat{i} + 0,075\hat{j})\text{ m} \\ \vec{r}_{2} &= (0,15\hat{i} + 0,075\hat{j})\text{ m} \\ \vec{r}_{3} &= (0,225\hat{i} + 0,075\hat{j})\text{ m} \end{align*}

Con esta información, se calculan las coordenadas del centro de masa utilizando la fórmula para tres partículas discretas (masas en kg):

$$x_{CM} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} = \frac{0,3\text{ kg} \cdot 0,05\text{ m} + 0,1\text{ kg} \cdot 0,15\text{ m} + 0,15\text{ kg} \cdot 0,225\text{ m}}{(0,3 + 0,1 + 0,15)\text{ kg}}$$

$$x_{CM} = 0,116\text{ m}$$

$$y_{CM} = \frac{m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2} + m_{3}y_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} = \frac{0,3\text{ kg} \cdot 0,075\text{ m} + 0,1\text{ kg} \cdot 0,075\text{ m} + 0,15\text{ kg} \cdot 0,075\text{ m}}{(0,3 + 0,1 + 0,15)\text{ kg}}$$

$$y_{CM} = 0,075\text{ m}$$

Por lo tanto, el vector posición del centro de masa es:

$$\vec{r}_{CM} = 0,116\hat{i} + 0,075\hat{j}\text{ m}$$

b. Torque ejercido sobre el punto O

Se identifica el punto O donde se encuentra el eje de rotación. Sobre la pieza de aluminio actúan 3 fuerzas: el peso del aluminio ($P$) actuando en el centro de masa de la pieza entera, más las fuerzas $F_1$ y $F_2$ entregadas.

De la figura, analizando geométricamente la posición de aplicación de cada fuerza respecto al punto O:

\begin{align*} r_{2} &= 0,05\text{ m} \quad , \quad \beta = 180^\circ \\ r_{1} &= \sqrt{0,15^{2} + 0,05^{2}} = 0,158\text{ m} \quad , \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{5}\right) = 71,6^\circ \\ r_{3} &= \sqrt{0,075^{2} + 0,066^{2}} = 0,0999\text{ m} \quad , \quad \gamma = \tan^{-1}\left(\frac{7,5}{6,6}\right) = 48,7^\circ \\ \alpha &= \gamma + 90^\circ = 48,7^\circ + 90^\circ = 138,7^\circ \end{align*}

Torque ejercido por la fuerza 2:
$$\tau_{F2} = F_{2}r_{2}\sin\beta = 11 \cdot 0,05 \sin 180^\circ = 0\text{ Nm}$$
Torque ejercido por la fuerza 1:
$$\tau_{F1} = F_{1}r_{1}\sin\theta = 8 \cdot 0,158 \sin 71,6^\circ = 1,20\text{ Nm}$$
Torque ejercido por el peso de la pieza de aluminio ($M_{total} = 550\text{ g} = 0,55\text{ kg}$):
$$\tau_{P} = mgr_{3}\sin\alpha = 0,550 \cdot 9,8 \cdot 0,0999 \sin 138,7^\circ = 0,36\text{ Nm}$$

El torque total ejercido sobre el punto O será la suma de todos los torques:

$$\sum_{i}\tau_{i} = \tau_{P} + \tau_{F1} + \tau_{F2} = 0,36\text{ Nm} + 1,20\text{ Nm} + 0\text{ Nm} = 1,56\text{ Nm}$$

Conclusión

Las cantidades físicas revisadas en esta cápsula reducen enormemente la dificultad de los cálculos del movimiento de un sistema de varias partículas. Este tipo de conceptos tienen una amplia gama de aplicaciones debido al tipo de fenómenos que se cubren.

Existe una intensa aplicación de estas cantidades en análisis de sistemas mecánicos aislados, como objetos que colisionan, explosiones o combustiones. El torque y el centro de masa son conceptos utilizados por la humanidad desde la antigüedad, destacándose a Arquímedes como un importante colaborador al desarrollo de métodos físicos para determinar el centro de masa de los cuerpos y el estudio del torque en cuerpos rígidos para realizar movimientos de palanca.