Sistemas de Partículas en 1D

Aplicación combinada: Centro de masa y torque en una barra

Objetivo

Esta cápsula tiene como propósito aplicar conjuntamente los conceptos de centro de masa y torque en un sistema unidimensional. Comprenderemos cómo un objeto extendido con masa propia (una barra homogénea) puede modelarse mediante su centro de masa para simplificar el cálculo del torque rotacional neto provocado por múltiples cargas.

Introducción Matemática

En problemas que involucran una sola dimensión (por ejemplo, cargas distribuidas a lo largo de un eje $x$), el cálculo del centro de masa se simplifica a la ponderación de las masas por sus posiciones:

$$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + … + m_n x_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} = \frac{\sum m_i x_i}{M_{total}}$$

Es fundamental recordar que si tenemos un objeto rígido continuo y uniforme (como una barra homogénea), podemos reemplazar todo el objeto por una «partícula» equivalente que posee la masa total del objeto y se encuentra ubicada en su centro geométrico.

En cuanto al torque ($\tau$), cuando las fuerzas aplicadas son completamente perpendiculares al brazo de palanca (por ejemplo, la fuerza de gravedad actuando hacia abajo sobre una barra horizontal), el ángulo $\theta$ es de $90^\circ$ y $\sin(90^\circ) = 1$. Así, la magnitud del torque se simplifica a:

$$\tau = \pm r \cdot F$$

Convención de signos: Generalmente se adopta signo positivo si la fuerza tiende a generar una rotación antihoraria, y signo negativo si la rotación es horaria.

Desarrollo del ejercicio (Guía Ej. 6)

Sobre una barra de largo $L = 5\text{ m}$ y $500\text{ g}$ de masa, se colocan tres masas puntuales: $m_1 = 75\text{ g}$, $m_2 = 40\text{ g}$, y $m_3 = 90\text{ g}$. Las posiciones de estas masas medidas desde el extremo izquierdo son $r_1 = L/3$, $r_2 = L/6$, y $r_3 = L/5$ respectivamente.

[Imagen de una barra horizontal de 5 metros apoyada en su extremo izquierdo (punto O), con las 3 masas pequeñas distribuidas sobre ella, además de mostrar el peso de la propia barra actuando en el medio.]

Con esta información, determine:

El centro de masas del sistema.
Si la barra se sujeta desde un extremo (donde $x=0$), determine el torque total aplicado sobre la barra.

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Paso Previo: Estandarizar Unidades y Posiciones

Es vital transformar todas las masas a Kilogramos (kg) y calcular la posición numérica ($x_i$) de cada elemento en metros:

Barra ($m_b$): $500\text{ g} = 0,5\text{ kg}$. Al ser homogénea, su centro de masa está en la mitad: $x_b = 5/2 = 2,5\text{ m}$.
Masa 1 ($m_1$): $75\text{ g} = 0,075\text{ kg}$. Ubicación: $x_1 = 5/3 \approx 1,667\text{ m}$.
Masa 2 ($m_2$): $40\text{ g} = 0,040\text{ kg}$. Ubicación: $x_2 = 5/6 \approx 0,833\text{ m}$.
Masa 3 ($m_3$): $90\text{ g} = 0,090\text{ kg}$. Ubicación: $x_3 = 5/5 = 1,00\text{ m}$.

La masa total del sistema es:

$$M_{total} = 0,5 + 0,075 + 0,040 + 0,090 = 0,705\text{ kg}$$

a. El centro de masas del sistema

Aplicamos la ecuación para componentes discretos considerando a la barra concentrada en su propio centro de masa:

$$x_{CM} = \frac{m_b x_b + m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{M_{total}}$$

$$x_{CM} = \frac{(0,5)(2,5) + (0,075)(1,667) + (0,040)(0,833) + (0,090)(1)}{0,705}$$

$$x_{CM} = \frac{1,25 + 0,125 + 0,0333 + 0,090}{0,705} = \frac{1,4983}{0,705}$$

$$x_{CM} = 2,125\text{ m} \approx 2,13\hat{i}\text{ m}$$

b. Torque total aplicado en un extremo

El eje de rotación está en $x=0$. Cada elemento ejerce una fuerza hacia abajo equivalente a su peso ($F_i = m_i g$). Como todas las fuerzas tienden a hacer girar la barra en sentido horario, los torques son negativos. (Usaremos $g = 9,8\text{ m/s}^2$).

Método 1: Suma de todos los torques individuales

\begin{align*} \tau_b &= -m_b g x_b = – (0,5 \cdot 9,8 \cdot 2,5) = -12,25\text{ Nm} \\ \tau_1 &= -m_1 g x_1 = – (0,075 \cdot 9,8 \cdot 1,667) = -1,225\text{ Nm} \\ \tau_2 &= -m_2 g x_2 = – (0,040 \cdot 9,8 \cdot 0,833) = -0,326\text{ Nm} \\ \tau_3 &= -m_3 g x_3 = – (0,090 \cdot 9,8 \cdot 1,00) = -0,882\text{ Nm} \end{align*}

$$\tau_{neto} = \tau_b + \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = -14,68\text{ Nm}$$

Método 2: ¡El Atajo del Centro de Masa!

Una propiedad fantástica del centro de masa es que podemos calcular el torque gravitacional neto imaginando que toda la masa del sistema está concentrada exactamente en $x_{CM}$.

$$\tau_{neto} = – (M_{total} \cdot g) \cdot x_{CM}$$

$$\tau_{neto} = – (0,705 \cdot 9,8) \cdot 2,125 = -14,68\text{ Nm}$$

Conclusión

Este ejercicio expone claramente el inmenso poder analítico del **Centro de Masa**. Observa cómo, al resolver la parte B, pudimos evitar sumar las fuerzas gravitacionales de cuatro objetos por separado utilizando simplemente la masa total y la posición del centro de masa calculada en la parte A.

En problemas reales de ingeniería, arquitectura o kinesiología (como el estudio de extremidades humanas), los objetos rara vez son puntos ideales. Conocer el centro de masa nos permite simplificar estructuras enteras —por más complejas que sean— para evaluar su tendencia a rotar (torque) frente a un pivote o soporte.