Cantidad de movimiento lineal y colisiones
1.2 Colisiones en dos dimensiones
Introducción
La cantidad de movimiento lineal y el impulso son cantidades vectoriales, por lo que, la conservación de momentum es también una ley expresada vectorialmente, lo que consecuentemente implica que el momentum se conserva de forma independiente en los distintos ejes de coordenadas.
Esta característica otorga un gran poder de cálculo para resolver complejos problemas de dinámica en sistemas cerrados, con cuerpos interactuando entre sí en un espacio tridimensional. Ante esta condición, es importante no olvidar el carácter vectorial de la velocidad en las colisiones elásticas: el momentum se calcula utilizando las componentes del vector velocidad, pero la energía cinética requiere de la magnitud de este vector para ser calculada.
1.2. Colisiones en dos dimensiones
De acuerdo con la ley de conservación de momentum, para sistemas aislados el momentum se conserva:
En el caso de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$, cualquier colisión entre estas, sin importar la dirección, mantendrá el momentum constante. La conservación de momentum se da de forma independiente en cada componente. En dos dimensiones:
Eje x) $$ m_1\vec{v}_{1ix} + m_2\vec{v}_{2ix} = m_1\vec{v}_{1fx} + m_2\vec{v}_{2fx} $$
Eje y) $$ m_1\vec{v}_{1iy} + m_2\vec{v}_{2iy} = m_1\vec{v}_{1fy} + m_2\vec{v}_{2fy} $$
En una colisión llamada colisión de refilón, de pasada o de soslayo, se observa que para colisiones específicas el tratamiento por componentes puede resultar más eficiente en coordenadas polares. Para este caso en particular, asumiendo que $m_2$ inicialmente está en reposo, se tendría:
x) $$ m_1v_{1i} = m_1v_{1f}\cos\theta_1 + m_2v_{2f}\cos\theta_2 $$
y) $$ 0 = m_2v_{2f}\sin\theta_2 – m_1v_{1f}\sin\theta_1 $$
Si además la colisión es elástica, se cumple entonces de manera simultánea a las ecuaciones anteriores la conservación de la energía cinética:
Resolución de problemas de colisiones en dos dimensiones
Ante problemas de colisiones en dos dimensiones, es recomendable asegurarse de cumplir los siguientes pasos:
- Establecer un sistema de coordenadas apropiado, que permita describir con sencillez las condiciones del problema.
- Representar adecuadamente las velocidades de los objetos en ambas situaciones: antes del choque y después del choque. La representación debe ser vectorial, para luego poder descomponer dichos vectores en las componentes correspondientes.
- Utilizar esta información para escribir la conservación de momentum de forma independiente para cada eje, observando que los signos de las cantidades utilizadas coincidan con la dirección de las componentes.
- Distinguir si la colisión es elástica o inelástica. Si es elástica, escribir la ecuación de conservación de la energía cinética.
- Con las ecuaciones escritas, construir un sistema de ecuaciones y resolver para las incógnitas.
Ejemplo Práctico
Un objeto de $m_0 = 25\text{ kg}$ viajando hacia la derecha a $20\text{ m/s}$ explota dividiéndose espontáneamente en dos piezas $m_1 = 18\text{ kg}$ y $m_2 = 7\text{ kg}$ como muestra la figura. La rapidez de la pieza $m_1$ después de la explosión es de $29\text{ m/s}$ en un ángulo de $30^{\circ}$ hacia arriba.
Determine la velocidad $\vec{v}_{2f}$ de la pieza de masa $m_2$.
▷ Ver Desarrollo y Solución
Expresamos la ley de conservación de momentum por componentes:
x) $$ m_0v_{1i} = m_1v_{1fx} + m_2v_{2fx} $$
y) $$ 0 = m_1v_{1fy} + m_2v_{2fy} $$
Reemplazando los valores del problema, se tiene:
x) $$ 25\text{ kg} \cdot 20\frac{\text{m}}{\text{s}} = 18\text{ kg} \cdot 29\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \cos 30^{\circ} + 7\text{ kg} \cdot v_{2fx} $$
y) $$ 0 = 18\text{ kg} \cdot 29\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \sin 30^{\circ} + 7\text{ kg} \cdot v_{2fy} $$
Despejando estas ecuaciones de forma independiente, se determina la magnitud de las componentes de la velocidad del cuerpo de masa $m_2$:
Eje X
$$ 500 = 452,1 + 7\text{ kg} \cdot v_{2fx} $$ $$ v_{2fx} = \frac{47,9}{7} \approx 6,84\frac{\text{m}}{\text{s}} $$Eje Y
$$ 0 = 261 + 7\text{ kg} \cdot v_{2fy} $$ $$ v_{2fy} = \frac{-261}{7} \approx -37,3\frac{\text{m}}{\text{s}} $$Como se tienen las componentes cartesianas del vector velocidad final, se puede expresar el vector completo, su módulo y el ángulo que forma con respecto al eje x:
Para determinar el ángulo $\theta$, se utiliza la tangente en el cuarto cuadrante:
Conclusión
La conservación de la cantidad de movimiento lineal puede aplicarse a cada eje de coordenadas de forma independiente, dada la naturaleza vectorial de las cantidades físicas involucradas (velocidad, momentum).
El procedimiento para determinar las velocidades de la mayor cantidad de los problemas de colisiones consiste en realizar un diagrama con las velocidades antes y después del choque, con un sistema de coordenadas apropiadas, para luego aplicar la ecuación de la conservación de momentum para cada componente. Esto permite resolver las componentes de las velocidades. Para poder obtener las propiedades del vector como su magnitud o el ángulo de inclinación respecto de la horizontal, se deben aplicar las ecuaciones vectoriales correspondientes.
Esta ley brota como una consecuencia de la segunda ley de Newton y es una poderosa herramienta de análisis que permite describir sistemas cerrados de partículas, con numerosas aplicaciones en áreas como física de partículas, balística y astrofísica. Además de describir colisiones y explosiones, estos conceptos también son útiles para describir distribuciones continuas de masa.