Dinámica de fluidos

3.2. Ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli

Introducción

La dinámica de fluidos es una rama de la física que nos permite comprender cómo se comportan los fluidos cuando están en movimiento. En esta cápsula nos centraremos en dos aspectos fundamentales:

1. Ecuación de Continuidad

Describe la relación entre la velocidad y el área de sección transversal de un fluido incompresible en movimiento. Si el área disminuye, la velocidad debe aumentar.

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

2. Ecuación de Bernoulli

Relaciona la presión, la velocidad y la altura de un fluido ideal sin fricción. Demuestra que la energía mecánica total del fluido se conserva a lo largo del flujo.

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$

Aplicación: Ecuación de Continuidad

Un conducto tiene un diámetro de $5\text{ cm}$ y transporta agua a una velocidad de $2\text{ m/s}$. Si el diámetro del conducto se reduce a $2\text{ cm}$, ¿cuál será la velocidad del agua en el nuevo punto?

▷ Ver Solución Paso a Paso

Dado que el agua es un fluido incompresible, el caudal ($Q = A \cdot v$) se mantiene constante a lo largo del tubo. Utilizamos la ecuación de continuidad:

$$A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2$$

Recordemos que el área transversal de un tubo circular en función de su diámetro $d$ es $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Sustituyendo en la ecuación:

$$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot v_2$$

Podemos simplificar el factor $\frac{\pi}{4}$ de ambos lados, lo que nos deja una relación mucho más sencilla basada en los diámetros al cuadrado:

$$d_1^2 \cdot v_1 = d_2^2 \cdot v_2$$

Sustituyendo los valores entregados ($d_1 = 5$, $v_1 = 2$, $d_2 = 2$):

$$(5)^2 \cdot 2 = (2)^2 \cdot v_2$$

$$25 \cdot 2 = 4 \cdot v_2 \quad \Rightarrow \quad 50 = 4 v_2$$

$$v_2 = 12,5\text{ [m/s]}$$

Aplicación: Ecuación de Bernoulli (Torricelli)

Un tanque de agua tiene una altura de $10\text{ m}$ y la presión hidrostática en el fondo es de $98000\text{ Pa}$. Si el agua se deja salir por un orificio en la parte inferior del tanque, ¿cuál será la velocidad del agua en el orificio?

▷ Ver Solución Paso a Paso

Este problema es una aplicación clásica de la Ecuación de Bernoulli conocida como el Teorema de Torricelli. Planteamos Bernoulli entre la superficie libre del tanque (Punto 1) y el orificio de salida (Punto 2):

Ambos puntos están a presión atmosférica ($P_1 = P_2 = P_{atm}$).
La velocidad en la superficie de un tanque grande es casi cero ($v_1 \approx 0$).
Si situamos el nivel de referencia $h=0$ en el orificio, entonces $h_2 = 0$ y $h_1 = 10\text{ m}$.

Simplificando la ecuación general de Bernoulli obtenemos:

$$\rho g h_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

La densidad $\rho$ se cancela de ambos lados. Despejando la velocidad de salida ($v_2$):

$$v_2 = \sqrt{2 g h_1}$$

Sustituyendo los valores entregados ($g = 9,8\text{ m/s}^2$ y $h_1 = 10\text{ m}$):

$$v_2 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 10} = \sqrt{196}$$

$$v_2 = 14\text{ [m/s]}$$

Nota: La presión de $98000\text{ Pa}$ entregada en el enunciado corresponde a la presión hidrostática generada por esos $10\text{ m}$ de columna de agua ($P = \rho g h = 1000 \cdot 9,8 \cdot 10$), corroborando los datos físicos.

Conclusión

Dominar la Ecuación de Continuidad y la Ecuación de Bernoulli te otorga poderosas herramientas predictivas. En el primer caso, pudimos ver numéricamente cómo al restringir el espacio de flujo (disminuir el diámetro del conducto a más de la mitad), el fluido reacciona aumentando drásticamente su velocidad para mantener el caudal constante.

Por otro lado, la ecuación de Bernoulli nos demostró cómo la energía potencial (representada por la altura del tanque de $10\text{ m}$) se convierte íntegramente en energía cinética (velocidad de salida) al nivel del orificio. Estos principios fundamentales son la base de aplicaciones ingenieriles complejas que abarcan desde el diseño de tuberías domésticas y acueductos, hasta la meteorología y el vuelo de los aviones.