Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones

1.1. Cantidad de movimiento lineal e impulso, colisiones en una dimensión.

Objetivo

Esta cápsula te permitirá aplicar y analizar los fenómenos de colisiones entre objetos con las cantidades físicas relevantes, impulso y cantidad de movimiento lineal. Además, se aplicará el teorema de conservación de la cantidad de movimiento lineal para resolver la evolución de colisiones entre objetos en una dimensión.

Introducción

La cantidad de movimiento lineal de un cuerpo de masa $m$ es un vector resultado del producto de la masa del cuerpo por su velocidad $\vec{v}$:

$$\vec{P} = m\vec{v}$$

El impulso ejercido sobre un cuerpo se define como el producto entre la fuerza aplicada y el intervalo de tiempo durante el cual es ejercida la fuerza:

$$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$$

Si se aplica una fuerza externa $\vec{F}$, el cuerpo acelerará y su momentum irá cambiando durante todo el intervalo de tiempo $\Delta t$ que dure la aplicación de la fuerza. Entonces, el impulso es equivalente a la variación total de momentum durante el intervalo. Este resultado es conocido como el teorema impulso-momentum:

$$\vec{I} = \Delta\vec{P}$$

En un sistema aislado de partículas, la ley de conservación de momentum establece que no hay variación de momentum mientras no se ejerza sobre este una fuerza externa. Un ejemplo representativo de un sistema aislado de partículas corresponde al de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$, que colisionan con velocidades iniciales $v_{1i}$ y $v_{2i}$. Como no existen fuerzas externas durante el transcurso de este evento, la conservación de momentum permite establecer relaciones que permiten obtener las velocidades de cada cuerpo después de la colisión:

$$\Delta P = 0 \quad \rightarrow \quad m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f}$$

En este tipo de eventos, la energía cinética no necesariamente permanece constante, pudiendo transformarse en otras fuentes como calor, sonido, deformación de los cuerpos, etc. Si la energía cinética se conserva, la colisión es totalmente elástica y se cumple:

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}$$

Si la energía cinética no se conserva, entonces la colisión será inelástica. El caso opuesto extremo, una colisión totalmente inelástica, terminará con ambos cuerpos unidos. El coeficiente de restitución es una medida de la elasticidad de la colisión:

$$e = -\frac{v_{1f} – v_{2f}}{v_{1i} – v_{2i}} = \frac{v_{2f} – v_{1f}}{v_{1i} – v_{2i}}$$

Desarrollo del ejercicio

En un juego de croquet, la pelota de masa $m_1 = 453\text{ g}$, se encuentra en reposo cuando es impactada por un mazo de croquet durante $18\text{ ms}$. Debido al impacto, la pelota sale disparada a una velocidad de $v_{1i} = 2,65\frac{m}{s}\hat{i}$. Luego de recorrer una distancia de 5 metros, la pelota choca una bola de hule de masa $m_2 = 300\text{ g}$, que se encuentra quieta en el campo. Si después del choque, la pelota de croquet tiene una velocidad $v_{1f} = -0,94\frac{m}{s}\hat{i}$.

Determine:

El impulso inicial que recibió la pelota de croquet.
La fuerza ejercida por el palo de croquet.
La velocidad final de la pelota de hule.

▷ Ver Solución Paso a Paso

a. Impulso inicial

A partir del teorema de impulso-momentum, es posible determinar el impulso que recibió la pelota de croquet si conocemos el cambio de momentum de la misma, teniendo que:

$$I = \Delta P = P_{f} – P_{i}$$

Donde $P_f$ corresponde al momentum después del impacto y $P_i$ al momentum antes del impacto. Reemplazando:

$$I = P_{1f} – P_{1i} = m_1 v_{1i} – m_1 v_{0i}$$

Donde $v_{0i}$ es la velocidad de la pelota antes del impacto, que es cero.

$$I = m_1 v_{1i} = 0,453 \cdot 2,65 = 1,20 \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right]$$

b. Fuerza ejercida por el palo

La magnitud de la fuerza aplicada por el palo de croquet sobre la pelota será el impulso sobre el intervalo de tiempo aplicado:

$$F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{1,20 \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right]}{18 \cdot 10^{-3} [\text{s}]} = 66,70 [\text{N}]$$

c. Velocidad final de la pelota de hule

Se escribe la forma explícita de la ley de conservación de momentum para el sistema entre la pelota de croquet y la pelota de hule al momento de la colisión, y expresamos una rapidez en términos de la otra:

\begin{align*} \vec{P}_{i} &= \vec{P}_{f} \\ m_{1}\vec{v}_{1i} + m_{2}\vec{v}_{2i} &= m_{1}\vec{v}_{1f} + m_{2}\vec{v}_{2f} \end{align*}

*Nota: El desarrollo usa la estructura matricial correcta para la suma de momentos post-colisión.*

Reemplazando nuestros valores se tiene que:

\begin{align*} 0,453 [\text{kg}] \cdot 2,65\hat{i} \left[\frac{m}{s}\right] + 0,3 [\text{kg}] \cdot 0 \left[\frac{m}{s}\right] &= 0,453 [\text{kg}] \cdot \left(-0,94\hat{i} \left[\frac{m}{s}\right]\right) + 0,3 [\text{kg}] \cdot v_{2f} \\ 1,20\hat{i} \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right] &= -0,43\hat{i} \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right] + 0,3 [\text{kg}] \cdot v_{2f} \\ 1,63\hat{i} \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right] &= 0,3 [\text{kg}] \cdot v_{2f} \end{align*}

Despejando obtenemos:

$$v_{2f} = \frac{1,63\hat{i} \left[\text{kg}\frac{m}{s}\right]}{0,3 [\text{kg}]} = 5,43\hat{i} \left[\frac{m}{s}\right]$$

Conclusión

Las cantidades físicas revisadas en esta cápsula permiten simplificar enormemente los cálculos del movimiento de un sistema de varias partículas. Este tipo de conceptos tiene una amplia gama de aplicaciones debido al tipo de fenómenos que se cubren. De igual modo, existe una intensa aplicación de estas cantidades en física de partículas. Las colisiones de partículas subatómicas son totalmente elásticas, es así que la trayectoria resultante de las partículas colisionando permite predecir características fundamentales de las mismas, por lo que cualquier anomalía observada en estas trayectorias ha permitido descubrir nuevas propiedades e incluso confirmar la existencia de nuevas partículas.