Unidad 1 – Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Unidad 1

Cantidad de Movimiento Lineal y Colisiones

1.1. Cantidad de movimiento lineal e impulso, colisiones en una dimensión.

Introducción

La cantidad de movimiento lineal y el impulso son conceptos que permiten analizar situaciones dinámicas complejas, donde existen fuerzas y aceleraciones en los cuerpos variables en el tiempo durante cortos intervalos, como las colisiones entre objetos. La cantidad de movimiento lineal, conocido también como momentum lineal, es una cantidad física útil para describir objetos en movimiento, pues considera tanto la masa como la velocidad del objeto.

Esta idea nos conduce a una ley muy importante en física: la ley de conservación de movimiento lineal, que es crucial para describir el movimiento de sistemas de partículas, colisiones y explosiones. Esta ley es una reformulación de la segunda ley de Newton que permite analizar y resolver el movimiento resultante de un sistema de partículas que interactúan entre sí, como en choques de partículas, colisiones de vehículos y bolas de billar, entre otros.

1. Cantidad de movimiento lineal

1.1. Definición

La cantidad de movimiento lineal o el momentum lineal es una cantidad física vectorial que resulta del producto entre la masa de un objeto por su velocidad:

$$\vec{P} = m\vec{v}$$

De esta ecuación, que define al momentum, se observa que el vector momentum es paralelo al vector velocidad, cuya dirección corresponde a la dirección de movimiento del objeto en el instante de estudio. La unidad de medida del momentum lineal en el sistema internacional de unidades es $kg \cdot \frac{m}{s}$. Mientras mayor sea el momentum de un objeto, será más difícil detenerlo o cambiar su dirección.

1.2. Relación con la fuerza

De acuerdo con la segunda ley de Newton, se requiere una fuerza neta externa para el movimiento de un cuerpo mediante una aceleración. Como una aceleración corresponde a un cambio de velocidad durante un intervalo de tiempo y el momentum es proporcional a la velocidad, se concluye que la razón del cambio de momentum durante un intervalo de tiempo es igual a la fuerza aplicada sobre dicho objeto durante dicho intervalo, es decir:

$$\sum\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{P}}{dt}$$

1.3. Impulso

Si un objeto está sometido a una fuerza externa $\vec{F}$, entonces su momentum variará conforme a la relación:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt} \quad \leftrightarrow \quad d\vec{P} = \vec{F} dt$$

Por lo tanto, si se desea conocer la variación total de momentum registrada durante un intervalo de tiempo $[t_{1};t_{2}]$, será necesario sumar cada variación de momentum ocurrida durante dicho intervalo:

$$\Delta\vec{P} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}dt$$

La integral de la derecha se conoce como impulso y corresponde a un vector paralelo a la fuerza neta promedio y de magnitud equivalente a la variación total de momentum del intervalo:

$$\vec{I} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}dt = \Delta\vec{P}$$

La ecuación anterior se conoce como el teorema del impulso-momentum y establece que el impulso de una fuerza externa sobre una partícula es igual al cambio de momentum de dicha partícula. Si la fuerza externa aplicada es constante, entonces el impulso se obtiene a través de la expresión $\vec{I} = \vec{F}_{prom}\Delta t$, donde $\vec{F}_{prom}$ representa la fuerza promedio durante el intervalo.

Ejemplo 1: Impulso en artes marciales

Para romper la tabla de la figura, un artista marcial lanza una patada con una rapidez de $15 \frac{m}{s}$, impacta la tabla durante un tiempo de $2 \text{ ms}$ y su pierna permanece detenida después del impacto. Si la pierna que patea la tabla tiene una masa estimada $m=10 \text{ kg}$, determine el impulso que debe aplicar el artista marcial para romper la tabla y la fuerza promedio aplicada.

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A partir del teorema del impulso-momentum, es posible determinar la magnitud del impulso si se dispone del cambio de momentum:

$$I = \Delta P = P_{f} – P_{i}$$

donde $P_{f}$ corresponde a la magnitud del momentum después del impacto y $P_{i}$ al momentum antes del impacto.

La pierna del artista marcial se mueve antes del impacto con una velocidad $\vec{v} = 15 \frac{m}{s}\hat{i}$, por lo que su momentum inicial es:

$$\vec{P}_{i} = 10 \text{ kg} \cdot 15 \frac{m}{s}\hat{i} = 150 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$$

Después del impacto, la pierna del artista marcial se detiene, por lo que su momentum final es $\vec{P}_{f} = 0 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$. Con estos datos, se determina el impulso:

$$\vec{I} = 0 – 150 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i} = -150 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$$

El impulso resultante es negativo, pues se está observando la variación de momentum de la pierna del artista. La magnitud del impulso es $I = |\vec{I}| = 150 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}$.

La magnitud de la fuerza aplicada por el artista marcial sobre la tabla será la magnitud del impulso sobre el intervalo de tiempo aplicado:

$$F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{150 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ s}} = 75 \text{ kN}$$

Ejemplo 2: Servicio en Voleibol

Un jugador de voleibol olímpico realiza su servicio lanzando la pelota de $0,3 \text{ kg}$ hacia el área del equipo opuesto. Una cámara de alta velocidad detecta que el jugador estuvo en contacto con la pelota durante $32 \text{ ms}$ y la pelota salió con rapidez $v = 13 \frac{m}{s}$. Determine la fuerza con la que el jugador golpeó la pelota.

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A partir del teorema del impulso-momentum, se determina la magnitud de la fuerza aplicada como la razón del cambio de momentum durante el intervalo de tiempo que dura el contacto entre la mano del jugador y la pelota. El momentum inicial de la pelota se considera nulo, al asumir que el balón está en reposo en el aire antes de que el jugador realice su servicio. Se reemplazan los valores en la ecuación:

$$F = \frac{\Delta\vec{P}}{\Delta t} = \frac{P_{f} – P_{i}}{\Delta t} = \frac{(0,3 \text{ kg} \cdot 13 \frac{m}{s} – 0 \text{ kg} \cdot \frac{m}{s})}{32 \cdot 10^{-3} \text{ s}} \approx 121,88 \text{ N}$$

Ejemplo 3: Choque contra una pared

Una pelota de $350 \text{ g}$ desplazándose horizontalmente hacia la izquierda golpea una pared vertical con una rapidez de $7 \frac{m}{s}$, rebotando con rapidez de $3 \frac{m}{s}$. Determine el impulso ejercido por la pared sobre la pelota.

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De acuerdo con el enunciado, la pelota viaja con velocidad inicial $\vec{v} = -7 \frac{m}{s}\hat{i}$ por lo que su momentum inicial es:

$$\vec{P}_{i} = 0,35 \text{ kg} \cdot \left(-7 \frac{m}{s}\right)\hat{i} = -2,45 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$$

Después del impacto con la pared, la pelota rebota con rapidez de $3 \frac{m}{s}$, por lo que la pelota estaría viajando hacia la derecha y su momentum final es:

$$\vec{P}_{f} = 0,35 \text{ kg} \cdot 3 \frac{m}{s}\hat{i} = 1,05 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$$

Con estos datos, se determina el impulso:

$$\vec{I} = 1,05 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i} – \left(-2,45 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\right)\hat{i} = 3,5 \text{ kg}\cdot\frac{m}{s}\hat{i}$$

2. Conservación de la cantidad de movimiento lineal

Considérese dos bloques que se deslizan sin roce sobre una superficie, que se mueven con velocidades $\vec{v}_{1i}$ y $\vec{v}_{2i}$ en trayectorias rectilíneas. Los bloques chocarán, ejerciéndose mutuamente una fuerza de contacto durante la colisión. La tercera ley de Newton permite identificar a este par de fuerzas como uno de acción y otro de reacción, de modo tal que se cumple:

$$\vec{F}_{1} = -\vec{F}_{2} \quad ; \quad |\vec{F}_{1}| = |\vec{F}_{2}| = F$$

Estas fuerzas son aplicadas durante la colisión, correspondiente a un intervalo de tiempo muy corto, durante el cual los cuerpos permanecen en contacto antes de separarse. Del teorema impulso-momentum, podemos expresar las fuerzas ejercidas por cada cuerpo en términos de la variación de momentum de cada cuerpo:

$$\vec{F}_{2} = \frac{d(\vec{P}_{1i})}{dt} \quad ; \quad \vec{F}_{1} = \frac{d(\vec{P}_{2i})}{dt}$$

Aplicando la tercera ley de Newton y sumando ambas expresiones se tiene:

$$-\vec{F} + \vec{F} = 0 = \frac{d(\vec{P}_{1i})}{dt} + \frac{d(\vec{P}_{2i})}{dt} = \frac{d(\vec{P}_{1i} + \vec{P}_{2i})}{dt}$$

Como la derivada resultante en la expresión de arriba es cero, se deduce que la expresión entre paréntesis debe ser constante, es decir:

$$\vec{P}_{1i} + \vec{P}_{2i} = cte = \vec{P}_{1f} + \vec{P}_{2f}$$

Este resultado se conoce como la ley de conservación de momentum y establece que en un sistema cerrado donde una o más partículas interactúan entre sí, el momentum de ese sistema permanece constante. Al ser una ecuación vectorial, se conserva de manera independiente en cada eje de coordenadas ($P_{xi}=P_{xf}$, $P_{yi}=P_{yf}$, $P_{zi}=P_{zf}$).

Ejemplo 4: Arquero sobre hielo

Un arquero de masa $m_{1} = 75 \text{ kg}$ se encuentra en patines sobre una pista de hielo sin roce y dispara una flecha de masa $m_{2} = 150 \text{ g}$ horizontalmente con rapidez $v_{2f} = 60 \frac{m}{s}$. Determine velocidad del arquero después de disparar la flecha.

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Debido a que el arquero permanece en reposo hasta antes de lanzar la flecha, se sabe que el momentum inicial total del sistema arquero-flecha es nulo: $P_{i} = 0$.

Después del lanzamiento, la flecha tiene una velocidad no nula. El momentum del sistema será: $P_{f} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f}$.

Sin embargo, la conservación de momentum establece que el momentum del sistema no cambia ($\Delta P = 0 \rightarrow P_{i} = P_{f}$):

$$0 = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f}$$

De esta expresión, podemos despejar la rapidez final del arquero $v_{1f}$:

$$v_{1f} = -\frac{m_{2}v_{2f}}{m_{1}} = -\frac{0,15 \text{ kg} \cdot 60 \frac{m}{s}}{75 \text{ kg}} = -0,12 \frac{m}{s}$$

En forma vectorial: $\vec{v}_{1f} = -0,12 \frac{m}{s}\hat{i}$

3. Colisiones en una dimensión

Una de las características principales de las colisiones es que son repentinas y rápidas. Durante el tiempo de una colisión entre dos partículas, cualquier fuerza externa que se encuentre actuando sobre ellas será mucho más débil que las fuerzas de interacción entre las partículas. Por ello, puede considerarse durante este evento que las partículas se encuentran en un sistema aislado y el momentum total debe conservarse.

La energía cinética del sistema no necesariamente va a conservarse. Si la energía cinética se conserva, se dice que la colisión es elástica. De lo contrario, se dice que la colisión es inelástica. Se denomina colisión totalmente inelástica cuando los objetos quedan unidos después de la colisión.

3.1. Coeficiente de restitución

En una colisión totalmente elástica entre dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$, se verifica simultáneamente la conservación de momentum lineal y la de energía cinética ($\Delta K = 0$ y $\Delta\vec{P} = 0$). Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene la relación de velocidades:

$$v_{1i} – v_{2i} = -(v_{1f} – v_{2f})$$

Se define el coeficiente de restitución $e$ como el inverso de la razón de las velocidades relativas de los cuerpos después del choque sobre las velocidades relativas antes del choque:

$$e = -\frac{v_{1f} – v_{2f}}{v_{1i} – v_{2i}} = \frac{v_{2f} – v_{1f}}{v_{1i} – v_{2i}}$$

Este valor constituye una medida de la elasticidad del choque y toma valores entre 0 y 1. Cuando $e=0$ el choque es perfectamente inelástico y $e=1$ en el caso de las colisiones perfectamente elásticas.

Ejemplo 5: Colisión Frontal

Una bola de masa $m_{1} = 6 \text{ kg}$ y velocidad $\vec{v}_{1i} = 2,5 \frac{m}{s}\hat{i}$ está en camino de una colisión frontal con otra bola de masa $m_{2} = 3,8 \text{ kg}$ con rapidez inicial $\vec{v}_{2i} = -4,0 \frac{m}{s}\hat{i}$. Determine las velocidades de cada bola después de la colisión si el coeficiente de restitución calculado es $e = \frac{2}{5}$.

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Se escribe la forma explícita de la ley de conservación de momentum y expresamos una rapidez en términos de la otra:

\begin{align*} 6 \text{ kg} \cdot 2,5 \frac{m}{s} + 3,8 \text{ kg} \cdot \left(-4 \frac{m}{s}\right) &= 6 \text{ kg} \cdot v_{1f} + 3,8 \text{ kg} \cdot v_{2f} \\ -0,2 \text{ kg} \frac{m}{s} &= 6 \text{ kg} \cdot v_{1f} + 3,8 \text{ kg} \cdot v_{2f} \\ v_{2f} &= \frac{-0,2 – 6 v_{1f}}{3,8} \text{ (omitiendo unidades para el cálculo)} \end{align*}

Por otra parte, usamos la ecuación del coeficiente de restitución:

\begin{align*} e = \frac{2}{5} &= \frac{v_{2f} – v_{1f}}{2,5 – (-4)} \\ 0,4 &= \frac{v_{2f} – v_{1f}}{6,5} \quad \Rightarrow \quad v_{2f} – v_{1f} = 2,6 \frac{m}{s} \\ v_{2f} &= 2,6 + v_{1f} \end{align*}

Igualando ambas ecuaciones para $v_{2f}$:

\begin{align*} \frac{-0,2 – 6 v_{1f}}{3,8} &= 2,6 + v_{1f} \\ -0,2 – 6 v_{1f} &= 9,88 + 3,8 v_{1f} \\ -10,08 &= 9,8 v_{1f} \\ v_{1f} &= -\frac{10,08}{9,8} \approx -1,03 \frac{m}{s} \end{align*}

Reemplazamos el valor obtenido para hallar $v_{2f}$:

$$v_{2f} = 2,6 \frac{m}{s} – 1,03 \frac{m}{s} = 1,57 \frac{m}{s}$$

Los signos indican la dirección resultante. $m_{1}$ se mueve hacia la izquierda ($-$) luego de la colisión y $m_{2}$ se mueve hacia la derecha ($+$).

Conclusión

La conservación de momentum es una de las leyes más importantes en física, debido a su poder descriptivo en la interacción de partículas en sistemas cerrados. Fenómenos como la colisión de bolas, vehículos, golpes de golf, de raquetas y pelotas de tenis, etc., no pueden ser resueltos con sencillez a través de la segunda ley de Newton, especialmente si la fuerza es variable y de corta duración. El teorema del impulso momentum permite relacionar ambas cantidades y reduce el problema de la integración de una fuerza en el tiempo a uno de variación de momentum.

En conjunto con el teorema de conservación de la energía cinética, la ley de conservación de momentum permite analizar con simpleza fenómenos de colisiones, con aplicaciones en balística, meteorología, astrofísica y hasta física de partículas. La gran relevancia sobre las colisiones reside en que un gran número de interacciones de contacto pueden ser modelados como una colisión, donde, si se verifica que el sistema de estudio está aislado, entonces se cumple la ley de conservación de momentum.

Uno de los aspectos más importantes a tener presente en el estudio de estos fenómenos es la naturaleza vectorial de las ecuaciones. La ley de conservación de momentum, al ser una cantidad vectorial, debe cumplirse de forma simultánea en todos los ejes coordenados. Por ello, la ley de conservación de momentum también es válida para sistemas en un espacio tridimensional o en un plano.