Sistemas de ecuaciones por Cramer

Introducción

En esta sección veremos cómo se define un sistema de ecuaciones lineales, ya sea desde su conformación, como también por sus tipos de soluciones. Además, veremos un método para resolver un determinado tipo de sistemas, usando el cálculo de determinantes.

Para los sistemas de ecuaciones existen diversas alternativas de solución, partiendo por los métodos de sustitución e igualación entre los primeros que se trabajan en sistemas de dos ecuaciones y dos variables. Pero, estos métodos ya no resultan convenientes para sistemas donde la cantidad de variables y ecuaciones sea mayor; es así que resulta necesario el estudio de diversos métodos de solución de sistemas de ecuaciones donde se tienen $m$ variables y $n$ ecuaciones.

En particular, para sistemas de ecuaciones donde la cantidad de ecuaciones sea igual a la cantidad de variables y posea única solución, la Regla de Cramer es de gran ayuda en el cálculo de su solución.

1.5 Sistemas de Ecuaciones por Cramer

Se conoce como sistema de ecuaciones lineales a:

\begin{align*} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} &= b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} &= b_{2} \\ \vdots \quad\quad\quad & \quad \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \dots + a_{mn}x_{n} &= b_{m} \end{align*}

Que se compone de $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones. Donde $a_{ij}$ se conocen como coeficientes; $x_i$ son las incógnitas y $b_i$ son las constantes de resultado. Este sistema se puede escribir en forma matricial, esto es en la forma: $\mathbf{Ax = b}$

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}; \quad x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}; \quad b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} $$

Soluciones de un sistema de ecuaciones

Se dirá que un sistema de ecuaciones lineales tendrá tres formas excluyentes de soluciones:

✔️ Compatible

Si posee solución, puede ser:

Determinado: Posee única solución.
Indeterminado: Posee infinitas soluciones.

❌ Incompatible

La solución es vacía (no tiene solución).

Ejemplos de Tipos de Solución:

1.

$$ S_{1}: \begin{cases} 2x + 3y &= 12 \\ x + y &= 5 \end{cases} $$

Es compatible determinado, donde su solución única es $x = 3$; $y = 2$.
2.

$$ S_{2}: \begin{cases} 5x + 4y &= 9 \\ 10x + 8y &= 18 \end{cases} $$

Es compatible indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.
3.

$$ S_{3}: \begin{cases} x + y &= 7 \\ x + y &= 5 \end{cases} $$

Es incompatible, es decir, su solución es vacía.

Sistema de ecuaciones de Cramer

Un sistema de ecuaciones se dice que es de Cramer, si cumple con ser cuadrado, es decir, tiene igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas ($n=m$) y ser compatible determinado.

Para utilizar el método de Cramer, se define el determinante asociado a cada variable $x_j$, reemplazando la columna $j$-ésima por el vector de resultados $b$:

$$ \Delta_{x_j} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

Así, la solución del sistema de ecuaciones lineales es dada por:

$$ x_{j} = \frac{\Delta_{x_j}}{\det(A)} $$

Ejemplos Prácticos

1. Sistema de 2×2

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ S: \begin{cases} 5x + 4y &= 13 \\ x + y &= 2 \end{cases} $$

▷ Solución:

En este caso tenemos:

$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} 13 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Calculamos los determinantes:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1) – (4 \cdot 1) = 1 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 13 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (13 \cdot 1) – (4 \cdot 2) = 5 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 5 & 13 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2) – (13 \cdot 1) = -3 $$

Entonces, aplicando la regla de Cramer:

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{5}{1} = 5 ; \quad\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-3}{1} = -3 $$

2. Sistema de 3×3

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ S: \begin{cases} x + 2y + 3z &= 2 \\ x + 3y – z &= -2 \\ 3x + 4y + 3z &= 0 \end{cases} $$

▷ Solución:

En este caso, se tiene que:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Calculamos los respectivos determinantes:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = -14 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 14 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = -14 $$

Entonces, determinamos las variables:

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{14}{-14} = -1 \quad;\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-14} = 0 \quad;\quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-14}{-14} = 1 $$

Conclusión

Un sistema de ecuaciones puede tener tres tipos de soluciones, para ello podemos utilizar operaciones elementales en una matriz ampliada de coeficientes y constantes, donde el rango indicará el tipo solución. Pero, para el caso de sistema de ecuaciones cuya solución es única y la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de variables del sistema, se puede utilizar el método de Regla de Cramer, que como se pudo ver, se basa en calcular determinantes de matrices cuadradas para determinar el valor de cada variable del sistema.

Por lo anterior, todo el trabajo realizado con operaciones elementales, cálculo y propiedades del determinante, es fundamental para aplicar este método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.