Matrices y sus propiedades

Objetivo

Esta cápsula te permitirá conocer e identificar las matrices y sus propiedades, de forma que se puedan realizar las distintas operaciones y solucionar ecuaciones matriciales.

Introducción

Uno de los conceptos básicos del álgebra lineal es el de matrices, gracias a ello se puede describir algunos teoremas propios de la asignatura y utilizarlos para resolver otro tipo de contenidos, por ejemplo, sistemas de ecuaciones.

Ejercicios de Desarrollo

1. Determine la matriz por extensión $A=(a_{ij}) \in M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$, tal que:

$$ a_{ij} = \begin{cases} i – j & \text{si } i > j \\ j^{i} & \text{si } i = j \\ i + j & \text{si } i < j \end{cases} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Considere la matriz en la forma genérica:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} $$

En cada uno de los elementos de la matriz tenemos:

•
$a_{11} \Rightarrow (i=1) = (j=1) \Rightarrow a_{11} = 1^{1} = 1$
•
$a_{12} \Rightarrow (i=1) < (j=2) \Rightarrow a_{12} = 1 + 2 = 3$
•
$a_{13} \Rightarrow (i=1) < (j=3) \Rightarrow a_{13} = 1 + 3 = 4$
•
$a_{21} \Rightarrow (i=2) > (j=1) \Rightarrow a_{21} = 2 – 1 = 1$
•
$a_{22} \Rightarrow (i=2) = (j=2) \Rightarrow a_{22} = 2^{2} = 4$
•
$a_{23} \Rightarrow (i=2) < (j=3) \Rightarrow a_{23} = 2 + 3 = 5$

Al final tenemos:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} $$

2. Calcule la matriz $X$, tal que:

$$ X = A \cdot B + C^{2} $$

Considerando las matrices:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

▷ Ver la Solución Paso a Paso

Paso 1: Multiplicación $A \cdot B$

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 9 \\ 19 & 10 \end{pmatrix} $$

Paso 2: Potencia $C^{2}$

$$ C^{2} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} $$

Paso 3: Suma final $A \cdot B + C^{2}$

$$ A \cdot B + C^{2} = \begin{pmatrix} 19 & 9 \\ 19 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 11 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} $$

Matriz Resultante:

$$ X = \begin{pmatrix} 30 & 13 \\ 27 & 13 \end{pmatrix} $$

Conclusión

Una matriz tiene un orden dado que se define por la cantidad de filas y columnas que posee; conociendo los coeficientes en su interior se puede determinar la matriz dada por comprensión o extensión.

Asimismo para la realización de las operaciones básicas, las matrices cuadradas del mismo orden no tienen impedimento para su realización. Se debe tener cuidado cuando las matrices no son cuadradas, dado que existen operaciones que eventualmente no se podrían realizar.

Igualmente, se debe considerar que para la solución de una ecuación matricial siempre es mejor despejar la matriz que se quiere calcular antes de evaluar las matrices entregadas.