Aplicaciones de sistemas de ecuaciones

Objetivo

Esta cápsula te permitirá aplicar sistemas de ecuaciones lineales para dar respuesta a problemas aplicados en contexto del área de las ciencias, ingeniería y economía.

Introducción

Un sistema de ecuaciones lineales puede representar un fenómeno o suceso de la vida cotidiana, donde sus respuestas pueden dar solución a problemáticas de distinta índole.

Es importante definir claramente las variables involucradas y sus unidades de medida, que son fundamentales en la generación del sistema y de la solución final entregada.

Por esta razón, te invitamos a poner atención al siguiente ejercicio.

Ejercicio de Aplicación

El Departamento de Pesca y Caza proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga tres especies de peces.

Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad de alimento 1, 1 unidad de alimento 2 y 1 unidad de alimento 3.
Cada pez de la especie 2 consume cada semana en promedio 3 unidades del alimento 1, 4 del alimento 2 y 1 del alimento 3.
Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 del alimento 2 y 1 del alimento 3.

Cada semana se suministran al lago 25.000 unidades del alimento 1, 20.000 unidades del alimento 2 y 17.000 unidades del alimento 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento…

¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

(Identifique variables, plantee el sistema adecuado y resuelva)

▷ Ver la Solución Paso a Paso

1. Identificación de Variables:

$x_1$: Cantidad de peces de la especie 1
$x_2$: Cantidad de peces de la especie 2
$x_3$: Cantidad de peces de la especie 3

2. Planteamiento del Sistema:

Agrupando el consumo por cada tipo de alimento, el sistema asociado es el siguiente:

$$ \begin{cases} 1x_1 + 3x_2 + 2x_3 &= 25000 \quad \text{(Alimento 1)} \\ 1x_1 + 4x_2 + 1x_3 &= 20000 \quad \text{(Alimento 2)} \\ 1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= 17000 \quad \text{(Alimento 3)} \end{cases} $$

Que expresado matricialmente es:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25000 \\ 20000 \\ 17000 \end{pmatrix} $$

3. Resolución (Escalonando la Matriz Ampliada):

$$ (A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 1 & 4 & 1 & 20000 \\ 1 & 1 & 1 & 17000 \end{array} \right) $$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & -2 & -1 & -8000 \end{array} \right) $$

Op 1: $F_2 \leftarrow F_2 – F_1$

Op 2: $F_3 \leftarrow F_3 – F_1$

$$ \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & 0 & -3 & -18000 \end{array} \right) $$

Operación: $F_3 \leftarrow F_3 + 2F_2$

4. Sistema Equivalente y Despeje:

De la matriz escalonada tenemos el nuevo sistema:

$$ \begin{cases} x_1 + 3x_2 + 2x_3 &= 25000 \\ x_2 – x_3 &= -5000 \\ -3x_3 &= -18000 \end{cases} $$

Despejando en la última ecuación:
$-3x_3 = -18000 \Rightarrow \mathbf{x_3 = 6000}$
Reemplazando en la segunda ecuación:
$x_2 – 6000 = -5000 \Rightarrow \mathbf{x_2 = 1000}$
Reemplazando en la primera ecuación:
$x_1 + 3(1000) + 2(6000) = 25000 \Rightarrow x_1 + 3000 + 12000 = 25000 \Rightarrow \mathbf{x_1 = 10000}$

Respuesta Final:

Pueden coexistir 10.000 peces de la especie 1, 1.000 peces de la especie 2 y 6.000 peces de la especie 3 en el lago.

Conclusión

El sistema de ecuaciones puede dar respuesta al problema planteado con única solución o infinita; esto solo es posible de verificar al plantear y solucionar el sistema que modela el problema.

La respuesta al problema planteado se debe entregar de forma redactada dentro del contexto, como vimos en el ejemplo resuelto.