Guía 1 – Matrices y sus propiedades

Guía de Ejercicios

Matrices y sus propiedades

Introducción

En esta guía desarrollaremos ejercicios relacionados con las operatorias entre matrices, sujetas a sus propiedades y restricciones, de forma que se puedan poner en práctica los procesos algebraicos para la resolución de diversos problemas matriciales.

Es importante poder ir destacando en el desarrollo de los ejercicios las propiedades que se utilizan, de forma que se pueda ir asimilando qué se puede o no realizar en los procesos algebraicos con las matrices.

Ejercicio 1

Considere las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$$

Determine:

(a) $A + B – C$

(b) $2A + 4C$

(d) $AC$

(e) $(AB)^{T}$

(f) $(A+B)C^{T}$

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(a)

$$\begin{pmatrix} -2 & 12 \\ -4 & -12 \end{pmatrix}$$

(b)

$$\begin{pmatrix} 36 & 3 \\ 40 & 42 \end{pmatrix}$$

(c)

$$\begin{pmatrix} 180 & 183 \\ 48 & 1 \end{pmatrix}$$

(d)

$$\begin{pmatrix} 55 & 29 \\ 5 & -13 \end{pmatrix}$$

(e)

$$\begin{pmatrix} 13 & -1 \\ 32 & 16 \end{pmatrix}$$

(f)

$$\begin{pmatrix} 75 & 121 \\ 67 & 209 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 2

Considere las siguientes matrices de $M_{3}(\mathbb{R})$:

$$A = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 4 & -5 & 1 \\ 6 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Determine:

(a) $A + B – C$

(b) $AB$

(d) $(BC)^{T}$

(e) $A^{2} + AB – B^{2}$

(f) $(A+B)^{T}C$

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(a)

$$\begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 2 & 9 & 1 \\ -5 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

(b)

$$\begin{pmatrix} 0 & 8 & 17 \\ 12 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

(c)

$$\begin{pmatrix} 7/4 & -3/4 & -1/4 \\ -3/2 & 23/4 & -1/4 \\ -4 & 3/4 & -7/4 \end{pmatrix}$$

(d)

$$\begin{pmatrix} 16 & 15 & 6 \\ -7 & 2 & -1 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix}$$

(e)

$$\begin{pmatrix} 62 & 8 & 23 \\ 49 & 16 & 12 \\ 9 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

(f)

$$\begin{pmatrix} 54 & -23 & 17 \\ 19 & -19 & 5 \\ 29 & -9 & 11 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 3

Determine los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que se cumpla:

$$\begin{pmatrix} a & 6 \\ -2 & b \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

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$$a = -4 \quad;\quad b = 3$$

Ejercicio 4

Si consideramos las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$

Determine las condiciones sobre los elementos de la matriz $C = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$ tal que se cumpla la igualdad $CA = B$.

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$$a = \frac{2-c}{2}$$

$$b = \frac{4-c}{4}$$

$$d = \frac{-f-8}{2}$$

$$e = -\frac{f}{4}$$

Ejercicio 5

Hallar las condiciones que debe cumplir la matriz $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tal que $AB = BA$ considerando:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

▷ Ver Resultados

$$a = d \quad;\quad c = 0$$