Inversa de una matriz

Introducción

En esta guía desarrollaremos ejercicios relacionados con la inversa de una matriz usando operaciones elementales.

Al desarrollar los ejercicios es importante destacar las operaciones elementales empleadas y las propiedades que se puedan utilizar, así se podrá establecer un proceso general para el cálculo de la inversa de una matriz.

Ejercicio 1

1. Determine la inversa (si existe) para cada una de las siguientes matrices, usando operaciones elementales.

(a)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} $$

(b)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 4 & 10 & 16 \\ 2 & 5 & 8 \end{bmatrix} $$

(c)

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 & 1 \\ 5 & -8 & 11 & -4 \\ -2 & 3 & -4 & 2 \end{bmatrix} $$

(d)

$$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 2 \end{bmatrix} $$

(e)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

(f)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

▷ Ver Resultados

(a)

$$ \begin{bmatrix} 31/3 & -2/3 & -22/3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -8/3 & 1/3 & 5/3 \end{bmatrix} $$

(b)

No tiene inversa

(c)

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & -4 \\ 2 & 4 & 0 & -3 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

(d)

$$ \begin{bmatrix} -1/2 & 3/2 & 5/2 \\ 3/4 & -5/4 & -9/4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} $$

(e)

$$ \begin{bmatrix} 5/4 & 1/4 & -5/2 \\ -1/2 & -1/2 & 2 \\ 1/4 & 1/4 & -1/2 \end{bmatrix} $$

(f)

$$ \begin{bmatrix} -4/9 & 1/9 & 1/3 \\ -10/9 & 7/9 & -2/3 \\ 11/9 & -5/9 & 1/3 \end{bmatrix} $$

Ejercicio 2

2. Determine el valor o los valores de la constante $x$, de modo que la matriz $B$ tenga inversa.

(a)

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\ -x & -3 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} $$

(b)

$$ B = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2x \\ 3 & 1 & x-2 \end{pmatrix} $$

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(a)

$$ x \in \mathbb{R} – \{2, 3\} $$

(b)

$$ x \in \mathbb{R} – \{1, 3\} $$

Ejercicio 3

3. Determine la matriz $X \in M_{2}(\mathbb{R})$ tal que:

$$ AX – B^{T} = \frac{1}{2}A^{2} $$

Con las matrices:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -8 & 6 \end{pmatrix} $$

▷ Ver Resultados

$$ X = \begin{pmatrix} 11 & 21 \\ 29/2 & 24 \end{pmatrix} $$

Ejercicio 4

4. Determine la matriz $X \in M_{3}(\mathbb{R})$ tal que:

$$ (AX^{-1}B)^{T} = AB $$

Con las matrices:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

▷ Ver Resultados

$$ X = \begin{pmatrix} -2 & -1/2 & -1 \\ -7 & -3/2 & -1 \\ 1 & 1/2 & 1 \end{pmatrix} $$