Sistemas de ecuaciones por Gauss Jordan

Introducción

En esta guía desarrollaremos ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones lineales usando operaciones elementales, esto es basado en el método de Gauss-Jordan.

Es importante que se tenga claridad con la aplicación de las operaciones elementales y rango de una matriz, de forma que se puedan realizar los análisis de sistemas solicitados y la obtención de las soluciones. También es fundamental el poder indicar las operaciones realizadas y propiedades utilizadas que justifican las respuestas entregadas.

Ejercicios Propuestos

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando el tipo de solución:

$$ S: \begin{cases} x + y + z &= 6 \\ 2x – y + 4z &= 12 \\ -3x + 2y – z &= -4 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} 2x + y – z &= 5 \\ x – 2y + 2z &= -5 \\ 7x + y – z &= 10 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} 2x + 4y + 6z &= 18 \\ 4x + 5y + 6z &= 24 \\ 2x + 7y + 12z &= 40 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} x + 2y + 3z – w &= 1 \\ 3x + 2y + z – w &= 1 \\ 2x + 2y + 2z – w &= 1 \\ 5x + 5y + 2z &= 2 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} x + y + z + u &= 0 \\ x + y + z – u &= 4 \\ 2x + 2z – u &= 6 \\ x – y + z + u &= 2 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} 2x + 8y – 8z + 10w &= 6 \\ x + 2y – 3z + w &= -8 \\ 3x + y + 4z – w &= 10 \\ x – y + 2z – 3w &= -4 \end{cases} $$

$$ S: \begin{cases} x – 2y + z &= 7 \\ 2x – y + 4z &= 17 \\ 3x – 2y + 2z &= 14 \end{cases} $$

8. Determine el valor real de la constante $a$, de modo que el siguiente sistema sea compatible determinado:

$$ S: \begin{cases} 3x + 5y + 12z – u &= -3 \\ x + y + 4z – u &= -6 \\ 2y + 2z + u &= -6 \\ 2z + au &= 9 \end{cases} $$

9. Determine el valor de la constante real $k$ de modo que el siguiente sistema:

$$ S: \begin{cases} 3x + 5y + 2z – w &= -3 \\ x + y + 4z – w &= -6 \\ 2y + 2z + w &= 5 \\ 2z – k^2 w &= 10k \end{cases} $$

(a) Sea compatible determinado.
(b) Sea compatible indeterminado.
(c) Sea incompatible.

10. Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales, para los distintos valores de $a$ y $b$:

$$ S: \begin{cases} ax – y + 2z &= 2 \\ 5x + ay + 4z &= b \\ 3x + 5y + 2z &= 0 \end{cases} $$

De modo que:

(a) Sea compatible determinado.
(b) Sea compatible indeterminado.
(c) Sea incompatible.

▷ Ver Resultados

Sistema compatible determinado

$$ x = \frac{13}{8},\; y = \frac{7}{4},\; z = \frac{21}{8} $$

Sistema compatible indeterminado ($t \in \mathbb{R}$)

$$ x = 1,\; y = 3 + t,\; z = t $$

Sistema Incompatible

Sistema comp. indet. ($t \in \mathbb{R}$)

$$ x = \frac{-19-95t}{6},\; y = \frac{11+43t}{6},\; z = \frac{1+5t}{6},\; w = t $$

Sistema Incompatible

Sistema comp. indet. ($t \in \mathbb{R}$)

$$ x = \frac{-51+13t}{7},\; y = \frac{59-16t}{7},\; z = \frac{41-4t}{7},\; w = t $$

Sistema compatible determinado

$$ x = 2,\; y = -1,\; z = 3 $$

$$ a \neq -1 $$

(a) Compatible determinado: $\quad k \neq \pm 1$
(b) Compatible indeterminado: $\quad k = -1$
(c) Incompatible: $\quad k = 1$

10.

(a) Compatible determinado:
$$ \forall a \in \mathbb{R} – \{4, 9\} \text{ y } b \in \mathbb{R} $$
(b) Compatible indeterminado:
$$ a = 4 \text{ y } b = 2 \quad ; \quad a = 9 \text{ y } b = \frac{1}{3} $$
(c) Incompatible:
$$ a = 4 \text{ y } b \neq 2 \quad ; \quad a = 9 \text{ y } b \neq \frac{1}{3} $$