Unidad 2 – Momento de Inercia

Unidad 2

Estática y dinámica del sólido rígido

2.2. Momento de inercia. Rotación y traslación pura.

Introducción

Una diferencia sustancial que existe entre los sólidos rígidos bajo movimientos de traslación y sólidos bajo movimientos de rotación es que las velocidades de estos últimos dependen de su distancia al eje de rotación. Por ello, se requiere una aproximación diferente que considere la posición de cada objeto.

Una observación experimental en el tratamiento de la rotación de sólidos rígidos es que estos son más difíciles de rotar si su masa se encuentra más alejada del eje de rotación. Para medir esta resistencia a la rotación que ofrecen los sólidos rígidos, se define el momento de inercia, cuyo valor dependerá tanto del valor de cada masa como de su posición respecto del eje de rotación. En general, los momentos de inercia de interés son aquellos respecto a un eje que pasa por el centro de masas del objeto, pues esos ejes estarán alineados con las simetrías de los respectivos objetos.

Si el sólido rota en un eje distinto a uno que pasa por su centro de masas, el momento de inercia será mayor y será más difícil rotar al sólido. El teorema del eje paralelo permitirá cuantificar el aumento del momento de inercia para estos casos.

Cantidades angulares

Desplazamiento angular

Para analizar la rotación de un sólido rígido, se debe considerar como una colección de partículas con velocidades y aceleraciones lineales independientes. Un punto P cualquiera del disco, a una distancia $r$ del eje de rotación, cambia su posición en un tiempo $\Delta t = t_{f} – t_{i}$, reflejándose en un cambio de orientación angular respecto a un eje de referencia:

$$\Delta\theta = \theta_{f} – \theta_{i}$$

Esta diferencia es conocida como desplazamiento angular. Por convención, la dirección de crecimiento es antihoraria ($\theta_{f} > \theta_{i}$ y $\Delta\theta > 0$).

Rapidez angular

La razón de cambio entre el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo se conoce como rapidez angular media ($\overline{\omega}$). La rapidez angular instantánea ($\omega$) será el límite cuando $\Delta t \rightarrow 0$:

$$\overline{\omega} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \quad ; \quad \omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$$

Aceleración angular

La razón de cambio entre la rapidez angular en un intervalo de tiempo es la aceleración angular media ($\overline{\alpha}$). Su valor instantáneo es:

$$\overline{\alpha} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} \quad ; \quad \alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}$$

Movimiento de partículas en un sólido rígido en rotación

Durante una rotación, cada partícula describe una trayectoria circular. El punto P recorre una longitud de arco $s$:

$$s = r\Delta\theta$$

La rapidez tangencial ($v$) y la aceleración tangencial ($a_T$) de dicha partícula son:

$$v = r\omega \quad ; \quad a_{T} = r\alpha$$

Además, existe una aceleración centrípeta ($a_c$) dirigida hacia el centro de la trayectoria:

$$a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = r\omega^{2}$$

Por lo que la magnitud de la aceleración total es:

$$a = \sqrt{a_{T}^{2} + a_{c}^{2}}$$

Cinemática rotacional

Si el sólido acelera su rotación con aceleración angular $\alpha$ constante, las partículas describen un movimiento circular uniformemente acelerado:

\begin{align*} \theta(t) &= \theta_{i} + \omega_{i} t + \frac{1}{2}\alpha t^{2} \\ \omega(t) &= \omega_{i} + \alpha t \\ \omega^{2}(t) &= \omega_{i}^{2} + 2\alpha\Delta\theta \end{align*}

Ejemplo 1: Disco

Un disco de radio $r = 45\text{ cm}$ inicia una rotación desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de $3000\text{ rpm}$ en $5\text{ s}$. Determine la aceleración angular y la velocidad de un punto tangente del disco a los $3\text{ segundos}$.

▷ Ver Solución

El disco inicia desde el reposo ($\omega_{i} = 0$). Convertimos la rapidez final a rad/s:

$$\omega_{f} = 3000 \text{ rpm} = 3000 \frac{\text{rev}}{\text{min}} \cdot \frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ rev}} \cdot \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} = 314,16 \frac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Calculamos la aceleración angular:

$$\alpha = \frac{\omega_{f} – \omega_{i}}{\Delta t} = \frac{314,16 – 0}{5} = 62,83 \frac{\text{rad}}{\text{s}^{2}}$$

Determinamos la velocidad angular a los 3 segundos:

$$\omega(3\text{s}) = \alpha t = 62,83 \cdot 3 = 98,49 \frac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Finalmente, la rapidez tangencial en el borde ($r = 0,45\text{ m}$):

$$v(3\text{s}) = \omega r = 98,49 \cdot 0,45 = 43,34 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Momento de inercia

La energía de movimiento de un sólido rígido asociada a la rotación será la suma de la energía cinética de cada una de las partículas que lo conforman:

$$K_{R} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}(r_{i}\omega)^{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2} \right) \omega^{2}$$

La cantidad entre paréntesis es independiente del estado de movimiento y es una propiedad intrínseca del cuerpo frente a la rotación respecto a ese eje. Se conoce como el momento de inercia $I$:

$$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2}$$

Se mide en $\text{kg} \cdot \text{m}^{2}$. Así, la energía de rotación se expresa: $K_{R} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$.

Para una distribución continua de masa, el sumatorio se transforma en una integral:

$$I = \int r^{2} dm = \int \rho r^{2} dV$$

Ejemplo 2: Tres masas

Tres masas $m_{1}=3,3\text{ kg}$, $m_{2}=2,4\text{ kg}$ y $m_{3}=1,5\text{ kg}$ están conectadas por barras rígidas de masas despreciables. Determine el momento de inercia del sistema en torno al eje de rotación OZ, donde $r_{1}=80\text{ cm}$, $r_{2}=70\text{ cm}$ y $r_{3}=120\text{ cm}$.

▷ Ver Solución

Convertimos las distancias a metros ($0,8\text{ m}$, $0,7\text{ m}$ y $1,2\text{ m}$) y aplicamos la fórmula discreta:

$$I = m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} + m_{3}r_{3}^{2}$$

$$I = 3,3(0,8)^{2} + 2,4(0,7)^{2} + 1,5(1,2)^{2}$$

$$I = 5,448 \text{ kg} \cdot \text{m}^{2}$$

Ejemplo 3: Cuatro masas

Cuatro masas $m_{1} = 2m_{2} = m_{3} = 2m_{4} = m$ están conectadas por barras rígidas de masas despreciables formando un rectángulo de lados $a$ y $2a$. Determine el momento de inercia del sistema de partículas en torno al eje de rotación OZ central.

▷ Ver Solución

Se entiende que $m_1 = m_3 = m$ y $m_2 = m_4 = m/2$. Se escriben los vectores de posición y se halla la magnitud de la distancia de cada esquina al centro:

$$|\vec{r}_{i}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + a^{2}} = \frac{\sqrt{5}a}{2}$$

El cuadrado de la distancia para todas las masas es $r_{i}^{2} = \frac{5a^{2}}{4}$. Calculamos $I$:

$$I = m\left(\frac{5a^{2}}{4}\right) + \frac{m}{2}\left(\frac{5a^{2}}{4}\right) + m\left(\frac{5a^{2}}{4}\right) + \frac{m}{2}\left(\frac{5a^{2}}{4}\right)$$

$$I = \frac{15ma^{2}}{4}$$

Ejemplo 4: Barra continua

Determine el momento de inercia de una barra rígida de masa $M$ distribuida uniformemente y de largo $L$, que gira en torno a un eje que pasa por el punto O en un extremo de la barra (eje y).

▷ Ver Solución

Se define una densidad lineal de masa constante $\lambda = \frac{M}{L}$. El diferencial de masa es $dm = \lambda dx$.

Se reemplaza en la integral del momento de inercia:

$$I = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda dx = \frac{M}{L} \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{L}$$

$$I = \frac{ML^{2}}{3}$$

Momentos de inercia de geometrías conocidas

Cilindro sólido o disco (Eje central)

$$I_{CM} = \frac{1}{2}MR^{2}$$

Cilindro hueco (Eje central)

$$I_{CM} = \frac{1}{2}M(R_{i}^{2} + R_{e}^{2})$$

Casquete cilíndrico delgado o anillo

$$I_{CM} = MR^{2}$$

Placa rectangular (Eje central normal)

$$I_{CM} = \frac{1}{12}M(L^{2} + a^{2})$$

Barra delgada (Eje por el centro)

$$I_{CM} = \frac{1}{12}ML^{2}$$

Barra delgada (Eje por un extremo)

$$I_{be} = \frac{1}{3}ML^{2}$$

Esfera sólida (Eje central)

$$I_{CM} = \frac{2}{5}MR^{2}$$

Casquete esférico delgado (Eje central)

$$I_{CM} = \frac{2}{3}MR^{2}$$

Teorema del eje paralelo

Todos los momentos de inercia de geometrías conocidas se determinan con respecto a un eje de rotación que pasa por el centro de masa. En general, determinar el momento de inercia respecto a un eje arbitrario puede ser complejo. El Teorema de Steiner (o del eje paralelo) simplifica esto:

$$I = I_{CM} + MD^{2}$$

Donde $D$ es la distancia perpendicular entre el eje que pasa por el centro de masa y el nuevo eje paralelo de rotación.

Ejemplo 5: Aplicación en una barra

Demuestre el momento de inercia de una barra delgada girando desde un extremo ($I_{be}$) usando el teorema del eje paralelo.

▷ Ver Solución

Sabemos que el momento por el centro de masa es $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^{2}$. La distancia al nuevo eje (extremo) es $D = \frac{L}{2}$.

\begin{align*} I_{be} &= I_{CM} + M\left(\frac{L}{2}\right)^{2} \\ I_{be} &= \frac{1}{12}ML^{2} + \frac{1}{4}ML^{2} \end{align*}

$$I_{be} = \left( \frac{1}{12} + \frac{3}{12} \right) ML^{2} = \frac{4}{12} ML^{2} = \frac{1}{3}ML^{2}$$

Conclusión

El concepto de momento de inercia es crucial en el estudio de la dinámica de los cuerpos rígidos. Su conceptualización emerge como la resistencia que ofrece el sólido a la rotación. Esta cantidad puede obtenerse desde un punto de vista energético y también desde un punto de vista newtoniano, al analizar el torque resultante de la aplicación de una fuerza a cierta distancia de un eje de rotación.

El momento de inercia es el equivalente a la masa inercial en los sistemas dinámicos de traslación pura. Incorpora la dependencia de la energía cinética del sólido con la energía cinética individual de cada elemento de masa que lo compone, cuya velocidad tangencial depende de su distancia con el eje de rotación. Esto implica que la energía de movimiento asociada a la rotación de un sólido rígido es proporcional a su momento de inercia.

El momento de inercia es menor cuando el eje de rotación pasa por el centro de masas del sólido. Esta es la razón tras el hecho de que requiera más esfuerzo rotar cuerpos en torno a sus extremos que en torno a sus centros. El teorema del eje paralelo permite cuantificar esta diferencia, permitiendo a su paso determinar con relativa facilidad momentos de inercia en torno a ejes complejos o de sólidos con formas complicadas.