Mecánica de fluidos
3.1. Presión hidrostática y principio de Arquímedes
Introducción
La mecánica de fluidos es una rama fundamental de la física que estudia el comportamiento de los fluidos. Estos son sustancias que pueden fluir y adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. En términos simples, un fluido es una sustancia que no tiene forma fija y puede fluir libremente. Esta categoría abarca tanto a líquidos como el agua, y a gases como el aire o el vapor.
A diferencia de los sólidos, los fluidos no tienen una forma o volumen definidos pueden fluir y deformarse cuando se aplican fuerzas externas. Entender el comportamiento de los fluidos es esencial en numerosas aplicaciones prácticas, desde el diseño de aviones y automóviles hasta la gestión de recursos hídricos y la climatología.
En esta subunidad, estudiaremos los principios fundamentales que rigen a los fluidos en estado estacionario.
Presión hidrostática
Si un objeto se encuentra sumergido dentro de un fluido, este ejerce fuerzas que tienden a comprimir al objeto desde todos sus lados. Es decir, el fluido ejerce fuerza en todos los puntos de la superficie del objeto y en forma perpendicular a esta. Por lo tanto, el fluido ejerce Presión sobre el objeto sumergido en él. La presión que recibe el objeto es la relación entre la fuerza ejercida por el fluido y el área del objeto.
Presión de un fluido sobre un objeto
La presión que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido en él aumenta con la profundidad. Por ejemplo, la presión atmosférica disminuye con la altura; y al sumergirnos dentro de una piscina, sentiremos mayor presión del agua a medida que nos sumerjamos más profundo. Esto se debe a que, a mayor profundidad, mayor será la cantidad de fluido que el cuerpo tendrá sobre él, por lo tanto, mayor será el peso del fluido y mayor será la presión que recibirá el objeto.
La densidad ($\rho$) de una sustancia, se define como la relación entre su masa y el volumen que la sustancia ocupa. Es decir:
Luego, la presión absoluta que ejerce un fluido determinado sobre un objeto sumergido en él es:
Donde:
- $P_{0}$ es la presión atmosférica, igual a $101.325\text{ Pa}$.
- $\rho$ es la densidad del fluido medida en $\text{kg/m}^{3}$.
- $g$ es la aceleración gravitacional, igual a $9,8\text{ m/s}^{2}$.
- $h$ es la profundidad a la cual se encuentra sumergido el objeto dentro del fluido, medida en metros.
A partir de la expresión anterior se observa que a la presión que ejerce el fluido será mayor, mientras mayor sea su densidad. Por otro lado, dicha presión tiene como base, la presión atmosférica; es decir que, a la presión atmosférica, se agrega la presión del fluido sobre el objeto.
Si solo consideramos la presión del fluido a partir de la presión atmosférica, tendremos la presión relativa. Esta es:
Ejemplo 1: Presión en el fondo de una piscina
Vamos a calcular la presión relativa y absoluta al fondo de una piscina cuya profundidad es igual a $2,5\text{ m}$. Consideremos que la piscina está llena de agua dulce. La densidad de dicho fluido es igual a $1000\text{ kg/m}^{3}$.
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La presión absoluta al fondo de la piscina resulta de reemplazar los valores en la ecuación 3. Es decir:
Por otro lado, la presión relativa será igual a (Ec 4):
Ley de Pascal
La ley de Pascal establece que un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que contiene al fluido. Esto significa que la presión en un fluido depende de la profundidad del objeto sumergido y del valor de $P_{0}$, y cualquier aumento en la presión en la superficie del fluido se transmite a todos los puntos del fluido.
Una aplicación importante de esta ley es la prensa hidráulica, donde una pequeña fuerza aplicada en un pistón de área superficial pequeña se amplifica en un pistón más grande, generando una mayor fuerza de salida. Este principio se utiliza en diversas aplicaciones, como frenos hidráulicos, elevadores de automóviles y gatos hidráulicos. Desde otra perspectiva, en un sistema hidráulico cerrado, el trabajo realizado por la fuerza aplicada en el pistón de entrada es igual al trabajo realizado por la fuerza resultante en el pistón de salida, conservando así la energía en el sistema.
En la figura se observa un sistema hidráulico en el que se aplica una fuerza $F_{1}$ sobre un fluido cuya área superficial es $A_{1}$. Es decir, la presión ejercida sobre el punto 1 es igual a: $P_{1} = \frac{F_{1}}{A_{1}}$. Por otro lado, la presión que ejerce el fluido hacia arriba en el punto 2 es igual a: $P_{2} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$.
Luego, según la ley de Pascal, el aumento de presión en el fluido debido a la fuerza ejercida en el punto 1 es igual al aumento de presión en el punto 2. Luego:
Despejando $F_{2}$, tenemos que:
Obsérvese que el factor $A_{2}/A_{1}$ es mayor que 1, ya que $A_{2} > A_{1}$. Entonces, la fuerza $F_{2}$ es igual a la fuerza $F_{1}$ multiplicada por un factor mayor a 1. Por lo tanto, $F_{2} > F_{1}$.
Ejemplo 2: Elevador hidráulico
En un taller mecánico, el elevador de automóviles utiliza un sistema hidráulico para levantar los vehículos. El sistema consta de un pistón pequeño con un radio de $15\text{ cm}$ y un pistón grande con un radio de $30\text{ cm}$. ¿Cuánto es la fuerza necesaria que se debe aplicar en el pistón pequeño para elevar un automóvil que pesa $11760\text{ N}$? ¿Cuánto es la presión necesaria para producir esta fuerza?
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Puesto que estamos buscando la fuerza de entrada en el pistón pequeño, debemos despejar $F_{1}$ a partir de la ecuación 5. Entonces, se tiene que:
Antes de reemplazar los valores, debemos convertir los radios de ambos pistones dados en centímetros, a metros. Implícitamente, el enunciado indica que el área de sección de los pistones es circular. Por otro lado, la fuerza de salida $F_{2}$ debe ser al menos igual al peso del automóvil. Luego:
Es interesante observar que $F_{2}/F_{1} = 4$ y que $r_{2} = 2r_{1}$. Entonces, al aumentar al doble el radio del pistón de salida con respecto al de entrada, la fuerza de salida aumenta al cuádruple con respecto a la fuerza de entrada.
Finalmente, para producir la fuerza de entrada obtenida, la presión de entrada debe ser la siguiente:
Principio de Arquímedes
Si empujamos hacia abajo un objeto sumergido en un fluido tal como una pelota inflable dentro del agua, sentiremos una gran resistencia. Esto se debe a que el agua ejerce una fuerza hacia arriba sobre la pelota. Esta fuerza se conoce como fuerza de flotación y queda definida a través del principio de Arquímedes.
Este establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba llamada fuerza de flotación, cuya magnitud es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. En otras palabras, cuando un objeto se sumerge en un fluido, este experimenta una fuerza hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido que desaloja. Este principio explica por qué los objetos flotan en el agua y por qué algunos objetos parecen más ligeros cuando están sumergidos.
Por ejemplo, si colocamos un objeto en un recipiente con agua, la fuerza hacia arriba ejercida por el agua sobre el objeto es igual al peso del agua desplazada por el objeto. Si el peso del objeto es menor que la fuerza de flotación, el objeto flotará; si es mayor, el objeto se hundirá.
Fórmulas de Flotabilidad
La fuerza de flotación ($B$) que ejerce un fluido en un objeto, es igual a la diferencia entre la fuerza que ejerce el fluido desde abajo hacia arriba ($f_{inf}$) y la que ejerce desde arriba hacia abajo ($f_{sup}$).
De la ecuación 1 se tiene que la fuerza es igual a la presión por el área. Consideremos que el cuerpo sumergido es un cilindro. Por lo tanto, las áreas inferior y superior son iguales. Luego, la expresión anterior es equivalente a:
Debemos notar que debido a que la cara inferior está a mayor profundidad que la superior, $P_{inf} > P_{sup}$. Además, la cara superior se encuentra a una altura $h_{1}$, así como la cara inferior se encuentra a una altura $h_{2}$. Entonces a partir de la ecuación 4 tenemos que:
Donde $h$ es la altura del cilindro ($h_{2} – h_{1}$). Por otro lado, el factor $hA$ es el volumen del cilindro. Entonces:
Obsérvese que la forma del objeto no afecta la expresión de la fuerza de flotación, ya que lo importa es su volumen. Si aplicamos la 2ª ley de Newton, tenemos que la sumatoria de fuerzas sobre el objeto es:
La diferencia entre $B$ y $F_{g}$ se denomina «peso aparente». Es, por ejemplo, el peso que sentimos de nuestro propio cuerpo cuando estamos dentro de una piscina.
Condiciones de Flotabilidad
A partir de la ecuación 7 se tiene que:
- Si la densidad del fluido es mayor a la densidad del cuerpo sumergido, la aceleración será positiva. Por lo tanto, el cuerpo acelerará hacia arriba; es decir, flotará.
- Si la densidad del fluido es menor a la densidad del cuerpo sumergido, la aceleración será negativa. Por lo tanto, el cuerpo acelerará hacia abajo; es decir, se hundirá.
- Si la densidad del fluido es igual a la densidad del cuerpo sumergido, la aceleración será nula. Por lo tanto, el cuerpo no acelerará; es decir, se mantendrá en la misma posición, o se moverá con velocidad constante.
Ejemplo 3: Flotabilidad
Un cuerpo cuya densidad es de $25\text{ kg/m}^{3}$ es arrojado al mar. Si la densidad del agua de mar es igual a $1025\text{ kg/m}^{3}$, ¿el objeto flotará o se hundirá? ¿Cuánto será su aceleración?
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A priori, podemos decir que el objeto flotará, ya que su densidad es mucho menor que la densidad del agua del mar. Luego, su aceleración será positiva, y la calcularemos a partir de la ecuación 7.
De la ecuación 2 se tiene que:
Entonces, la expresión es equivalente a:
Remplazando los valores, tenemos que:
Conclusión
Abordamos dos conceptos importantes en mecánica de fluidos: la presión hidrostática y el principio de Arquímedes. La presión hidrostática se refiere a la fuerza ejercida por un fluido sobre un objeto sumergido en él, y esta presión aumenta con la profundidad debido al peso del fluido sobre el objeto. La ecuación que describe esta presión incorpora la densidad del fluido, la aceleración gravitacional y la profundidad del objeto sumergido. Por otro lado, el principio de Arquímedes establece que un objeto sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba llamada fuerza de flotación, igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Este principio explica por qué los objetos flotan en el agua y por qué algunos objetos parecen más ligeros cuando están sumergidos.
La fuerza de flotación se calcula como la diferencia entre la fuerza hacia arriba y la fuerza hacia abajo ejercidas por el fluido sobre el objeto. Esta fuerza depende de la densidad del fluido, la gravedad y el volumen del objeto. Aplicamos el principio de Arquímedes para determinar si un objeto flotará o se hundirá en un fluido dado. Si la densidad del fluido es mayor que la del objeto, el objeto flotará; si es menor, se hundirá.
En conclusión, hemos abordado de manera clara y concisa los conceptos fundamentales de la presión hidrostática y el principio de Arquímedes, proporcionando una comprensión sólida de cómo los fluidos afectan a los objetos sumergidos en ellos. Estos principios son fundamentales para entender fenómenos como la flotación de los barcos y la capacidad de los objetos para mantenerse a flote en diferentes medios acuosos.